Videnskab
 science >> Videnskab >  >> Fysik

Partikel i en kasse (fysik): Ligning, afledning og eksempler

Forskellen mellem klassisk mekanik og kvantemekanik er enorm. Mens partikler og genstande i klassisk mekanik har klart definerede positioner, kan kvantemekanik (inden en måling) kun siges at have en række mulige positioner, som er beskrevet med hensyn til sandsynligheder ved bølgefunktionen. >

Schrodinger-ligningen definerer bølgefunktionen i kvantemekaniske systemer, og det at lære at bruge og fortolke det er en vigtig del af ethvert kursus i kvantemekanik. Et af de enkleste eksempler på en løsning på denne ligning er for en partikel i en kasse.
Bølgefunktionen

I kvantemekanik er en partikel repræsenteret af en bølgefunktion. Dette er normalt betegnet med det græske bogstav psi ( Ψ
), og det afhænger af både position og tid, og det indeholder alt, hvad der kan kendes om partiklen.

Modulus for denne funktion kvadrat fortæller dig sandsynligheden for, at partiklen vil blive fundet i position x
på tidspunkt t
, forudsat at funktionen er "normaliseret." Dette betyder bare justeret, så det er bestemt at blive fundet på nogle
position x
på det tidspunkt t
når resultaterne på hvert sted summeres, dvs. normaliseringsbetingelsen siger, at:
\\ int _ {- \\ infty} ^ \\ infty \\ vertΨ \\ vert ^ 2 \u003d 1

Du kan bruge bølgefunktionen til at beregne forventningsværdien for placeringen af en partikel på tidspunktet t
, hvor forventningsværdien bare betyder den gennemsnitlige værdi, du ville få for x
, hvis du gentog målingen et stort antal gange. Selvfølgelig betyder det ikke, at det vil være det resultat, du får for en given måling - det er effektivt og tilfældigt, selvom nogle placeringer normalt er væsentligt mere sandsynlige end andre.

Der er mange andre mængder, som du kan beregne forventningsværdier for, såsom momentum og energiverdier, såvel som mange andre "observerbare." find værdien for bølgefunktionen og egenstaterne til partiklenes energi. Ligningen kan udledes fra bevarelse af energi og udtryk for en kinetisk og potentiel energi i en partikel. Den enkleste måde at skrive det på er:
H (Ψ) \u003d iℏ \\ frac {\\ partialΨ} {\\ parti t}

Men her H
repræsenterer den Hamiltonian operatør, der i sig selv er en forholdsvis langt udtryk:
H \u003d \\ frac {−ℏ} {2m} \\ frac {\\ delvis ^ 2} {\\ delvis x ^ 2} + V (x)

Her, m
er massen, ℏ er Plancks konstant divideret med 2π, og V
( x
) er en generel funktion for systemets potentielle energi. Hamiltonian har to forskellige dele - den første term er den kinetiske energi i systemet, og den anden term er den potentielle energi.

Enhver observerbar værdi i kvantemekanik er forbundet med en operatør og i den tidsuafhængige version af Schrodinger-ligningen, Hamiltonian er energioperatøren. I den tidsafhængige version, der er vist ovenfor, genererer Hamiltonian imidlertid også tidsudviklingen for bølgefunktionen.

Ved at kombinere al den information, der er indeholdt i ligningen, kan du beskrive udviklingen af partiklen i rummet og tid og forudsige de mulige energiverdier for den også.
Den tidsuafhængige Schrodinger-ligning

Den tidsafhængige del af ligningen kan fjernes - for at beskrive en situation, der ikke især udvikler sig med tiden - ved at opdele bølgefunktionen i rum- og tidsdele: Ψ
( x
, t
) \u003d Ψ
( x
) f
( t
). De tidsafhængige dele kan derefter annulleres fra ligningen, hvilket efterlader den tidsuafhængige version af Schrodinger-ligningen:
H Ψ (x) \u003d E (Ψ (x))

E < "br> is the energy of the system.", 3, [[Dette har den nøjagtige form af en egenværdiligning, hvor Ψ
( x
) er egenfunktionen, og E
er egenværdien, hvorfor den tidsuafhængige ligning kaldes ofte egenværdi-ligningen for energien i et kvantemekanisk system. Tidsfunktionen gives ganske enkelt af:
f (t) \u003d e ^ {- iEt /ℏ}

Den tidsuafhængige ligning er nyttig, fordi den forenkler beregningerne i mange situationer, hvor tidsudvikling ikke er særlig afgørende . Dette er den mest nyttige form for problemer med "partikel i en kasse" og endda til bestemmelse af energiniveauet for elektroner omkring et atom.
Partikel i en kasse (Infinite Square Well) -

En af de enkleste løsninger til den tidsuafhængige Schrodinger-ligning er for en partikel i en uendeligt dyb firkantet brønd (dvs. en uendelig potentiel brønd) eller en endimensional boks med baselængde L
. Naturligvis er dette teoretiske idealiseringer, men det giver en grundlæggende idé om, hvordan du løser Schrodinger-ligningen uden at redegøre for mange af de komplikationer, der findes i naturen.

Med den potentielle energi sat til 0 uden for brønden, hvor sandsynlighedstæthed er også 0, Schrodinger-ligningen for denne situation bliver:
\\ frac {−ℏ ^ 2} {2m} \\ frac {d ^ 2Ψ (x)} {dx ^ 2} \u003d E Ψ (x)

Og den generelle løsning for en ligning af denne form er:
Ψ (x) \u003d A \\ sin (kx) + B \\ cos (kx)

At se på grænseforholdene kan dog hjælpe med at indsnævre dette . For x
\u003d 0 og x
\u003d L, dvs. siderne af boksen eller brøndens vægge, skal bølgefunktionen gå til nul. Kosinusfunktionen har en værdi på 1, når argumentet er 0, så for at grænsevilkårene skal være opfyldt, skal konstanten B
være lig nul. Dette efterlader:
Ψ (x) \u003d A \\ sin (kx)

Du kan også bruge grænsevilkårene til at indstille en værdi for k
. Da sinfunktionen går til nul ved værdier n_π, hvor kvantallet _n
\u003d 0, 1, 2, 3 ... og så videre, betyder det, når x
\u003d L
, vil ligningen kun fungere, hvis k
\u003d n_π /_L
. Endelig kan du bruge det faktum, at bølgefunktionen skal normaliseres for at finde værdien af A
(integrere på tværs af alle mulige x
værdier, dvs. fra 0 til L
, og indstil derefter resultatet til 1 og arranger igen) for at nå frem til det endelige udtryk:
Ψ (x) \u003d \\ sqrt {\\ frac {2} {L}} \\ sin \\ bigg (\\ frac {nπ} {L} x \\ bigg)

Ved hjælp af den originale ligning og dette resultat kan du derefter løse for E
, der giver:
E \u003d \\ frac {n ^ 2ℎ ^ 2} {8mL ^ 2}

Bemærk, at det faktum, at n
er i dette udtryk, betyder, at energiniveauet er kvantiseret
, så de kan ikke tage nogen
-værdi, men kun et diskret sæt af specifikke energiniveauværdier afhængigt af partiklens masse og kassens længde.
Partikel i en kasse (Finite Square Well)