"How to Calculate Eigenvalues

", 3, [[

Når du får en matrix i en matematik- eller fysikklasse, bliver du ofte bedt om at finde dens egenværdier. Hvis du ikke er sikker på, hvad det betyder, eller hvordan du gør det, er opgaven skræmmende, og den involverer en masse forvirrende terminologier, der gør tingene endnu værre. Processen med at beregne egenværdier er imidlertid ikke for udfordrende, hvis du er fortrolig med at løse kvadratiske (eller polynomiske) ligninger, forudsat at du lærer det grundlæggende i matrixer, egenværdier og egenvektorer.
Matriser, Eigenværdier og Eigenvektorer: Hvad betyder

Matrixer er matriser af tal, hvor A står i navnet på en generisk matrix, som denne:

(
1 3)

A
\u003d (4 2)

Tallene i hver position varierer, og der kan endda være algebraiske udtryk i deres sted. Dette er en 2 × 2 matrix, men de findes i forskellige størrelser og har ikke altid lige mange rækker og kolonner.

Håndtering af matrixer er forskellig fra at håndtere almindelige tal, og der er specifikke regler for at multiplicere, opdele, tilføje og trække dem fra hinanden. Udtrykkene "egenværdi" og "egenvector" bruges i matrixalgebra for at henvise til to karakteristiske mængder med hensyn til matrixen. Dette egenværdiproblem hjælper dig med at forstå, hvad udtrykket betyder:

A
∙ v \u003d λ ∙ v

A er en generel matrix som før, v er en vektor, og "λ is a characteristic value.", 3, [[Se på ligningen og bemærk, at når du multiplicerer matrixen med vektoren v, er effekten at gengive den samme vektor lige ganget med værdien λ. Dette er usædvanlig opførsel og tjener vektoren v og mængden λ specialnavne: egenvektoren og egenværdien. Dette er karakteristiske værdier for matrixen, fordi multiplikation af matrixen med egenvektoren efterlader vektoren uændret bortset fra multiplikation med en faktor af egenværdien. i en eller anden form er det let at finde egenværdien (fordi resultatet vil være en vektor, der er den samme som den originale, bortset fra ganget med en konstant faktor - egenværdien). Svaret findes ved at løse matrixens karakteristiske ligning:

det (A - λ I
) \u003d 0

Hvor jeg er identitetsmatrixen, som er tom bortset fra en række 1'er, der løber diagonalt ned ad matrixen. “Det” henviser til bestemmelsen af matrixen, som for en generel matrix:

(ab)

A
\u003d (cd)

Er givet af

det A \u003d ad –bc

Så den karakteristiske ligning betyder:

(a - λ b)

det (A - λ < b> I
) \u003d (cd - λ) \u003d (a - λ) (d - λ) - bc \u003d 0

Lad os som eksempel matrix definere A som:

(0 1)

A
\u003d (−2 −3)

Så det betyder:

det (A - λ I
) \u003d (0 - λ) (- 3 - λ) - (1 × −2) \u003d 0

\u003d −λ (−3 - λ) + 2

\u003d λ < sup> 2 + 3 λ + 2 \u003d 0

Løsningerne for λ er egenværdierne, og du løser dette som enhver kvadratisk ligning. Løsningerne er λ \u003d - 1 og λ \u003d - 2.

Tips