Sådan integreres kvadratrødsfunktioner

En kvadratrode er den samme som en eksponentiel grad på 1/2, så en kvadratrodefunktion kan integreres ved hjælp af den samme formel for polynomier. En u-substitution for udtrykket under kvadratrodsymbolet er et fælles yderligere trin. Find integralet af kvadratrodsfunktioner ved at omskrive kvadratroden som u ^ (1/2) og derefter finde anti-derivatet ved hjælp af den polynomiske anti-derivative formel fra calculus.

Udfør en u-substitution ved at erstatte udtrykket inde i kvadratroten med dig. Udskift f.eks. Udtrykket (3x - 5) i funktionen f (x) = 6√ (3x - 5) for at få den nye funktion f (x) = 6√u.

Skriv om kvadratroden som en eksponentiel grad 1/2. Skriv for eksempel funktionen f (x) = 6√u + 2, som 6u ^ (1/2).

Beregn derivatet du /dx og isoler dx i ligningen. I ovenstående eksempel er derivatet af u = 3x - 5 du /dx = 3. Isolering dx giver ligningen dx = (1/3) du.

Udskift dx i det integrerede udtryk med dets værdi i forhold til du, som du lige gjorde. Ved at fortsætte eksemplet bliver integralet af 6u ^ (1/2) dx integreret af f (u) = 6u ^ (1/2) * (1/3) du eller 2u ^ (1/2) du. < b> Evaluere anti-derivatet af funktionen f (u) ved anvendelse af den anti-derivative formel for a * x ^ n: a (x ^ (n + 1)) /(n + 1). I ovenstående eksempel er anti-derivatet af f (u) = 2u ^ (1/2) 2 (u ^ (3/2)) /(3/2), hvilket forenkler til (4/3) u ^ (3/2).

Erstat værdien af ​​x tilbage til dig for at fuldføre integrationen. I eksemplet ovenfor erstattes "3x - 5" for at få værdien af ​​integralet i form af x: F (x) = (4/3) (3x - 5) ^ (3/2).

Omskrive udtrykket i radikal form, hvis du ønsker det, ved at erstatte eksponenten (3/2) med en kvadratrode af udtrykket til den tredje effekt. I ovenstående eksempel omskrives F (x) i radikal form som F (x) = (4/3) √ ((3x - 5) ^ 3).