Videnskab
 science >> Videnskab >  >> Math

Sådan beregnes Wronskian

Wronskian er en determinant formuleret af polsk matematiker og filosof J &# xF3; zef Maria Ho &# xEB; ne-Wro &# x144; ski. Det bruges til at finde ud af om to eller flere funktioner er lineært uafhængige. Funktioner, der er lineært afhængige, er multipler af hver, mens lineært uafhængige er ikke. Hvis Wronskian er nul på alle punkter, hvilket betyder at det forsvinder overalt, så er funktionerne lineært afhængige. I matematiske termer betyder det for to funktioner f og g, at W (f, g) = 0. Hvis Wronskian kun er nul på bestemte punkter, er lineær afhængighed ikke blevet bevist. For at beregne Wronskian skal du vide hvordan man bruger determinanter og hvordan man finder derivaterne af funktioner.

Brug Wronskian-formlen til to funktioner, som vist til venstre. Determinanten beregnes ved hjælp af formlen w (f, g) = fg '- gf'. Hvis dette er lig med nul i alle værdier, er funktionerne f og g multipel af hinanden og dermed lineært afhængige.

Løs Wronskian for to funktioner. Som et eksempel, for e ^ x og e ^ 2x, er determinanten som vist til venstre. Derivatet for e ^ x er e ^ x, og derivatet for e ^ 2x er 2e ^ 2x. Wronskian er e ^ x * 2e ^ 2x - e ^ 2x * e ^ x.

Forenkle udtrykket i trin to. Dette er lig med 2e ^ 3x - e ^ 3x. Så W (e ^ x, e ^ 2x) = e ^ 3x. Da dette aldrig er nul for en værdi af x, er de to funktioner lineært uafhængige.

Brug Wronskian til tre funktioner. Bestemmelsen for funktionerne f, g og h er W (f, g, h) = f (g'h '' - h'g '') - g (f 'h' 'h'f' ' ) + h (f 'g' '- g'f' ').

Løs Wronskian for tre funktioner. Som et eksempel er determinanten for 1, x og x ^ 2 som vist til venstre. Det første derivat for 1 er 0, for x er det 1, og for x ^ 2 er det 2x. De anden derivater er henholdsvis 0, 0, 2.

Indsæt værdierne for den første og anden derivat, der findes i trin to i determinanten. Wronskian er 1 * (1 * 2 - 0) - 0 + 0. Således W (1, x, x ^ 2) = 2. Da dette aldrig er 0, er de tre funktioner lineært uafhængige.

Klik for at udvide hele teksten