Sådan integreres firkantede rodfunktioner

Integrationsfunktioner er en af kerneprogrammerne i beregningen. Nogle gange er dette ligetil, som i:

F (x) \u003d ∫ (x ^{3 + 8) dx}

I et relativt kompliceret eksempel af denne type kan du bruge en version af den grundlæggende formel til integration af ubestemte integraler:

∫ (x ^{n + A) dx \u003d x (n + 1) /(n + 1) + An + C,}

hvor A og C er konstanter.

Således for dette eksempel,

∫ x ^{3 + 8 \u003d x 4/4 + 8x + C.
Integration af grundlæggende firkantede rodfunktioner}

På overfladen er det vanskelig at integrere en firkantet rodfunktion. For eksempel kan du blive stymmet af:

F (x) \u003d ∫ √ [(x ^{3) + 2x - 7] dx}

Men du kan udtrykke en firkantet rod som en eksponent, 1/2:

√ x ^{3 \u003d x 3 (1/2) \u003d x (3/2)}

Integralet bliver derfor :

∫ (x ^{3/2 + 2x - 7) dx}

, som du kan anvende den sædvanlige formel ovenfra:

\u003d x ^{(5/2) /(5/2) + 2 (x 2/2) - 7x}

\u003d (2/5) x ^{(5/2) + x 2 - 7x
integration af mere komplekse firkantede rodfunktioner}

Nogle gange har du muligvis mere end et udtryk under det radikale tegn, som i dette eksempel:

F (x) \u003d ∫ [(x + 1) /√ (x - 3)] dx

Du kan bruge u-substitution for at fortsætte. Her indstiller du u lig med mængden i nævneren:

u \u003d √ (x - 3)

Løs dette for x ved at kvadrere begge sider og trække:

u ^{2 \u003d x - 3}

x \u003d u ^{2 + 3}

Dette giver dig mulighed for at få dx i form af u ved at tage afledningen af x:

dx \u003d (2u) du

At erstatte det originale integral giver

F (x) \u003d ∫ (u ^{2 + 3 + 1) /udu}

\u003d ∫ [(2u ^{3 + 6u + 2u) /u] du}

\u003d ∫ (2u ^{2 + 8) du}

Nu kan du integrere dette bruger den grundlæggende formel og udtrykker u i form af x:

∫ (2u ^{2 + 8) du \u003d (2/3) u 3 + 8u + C}

\u003d (2/3) [√ (x - 3)] ^{3 + 8 [√ (x - 3)] + C}

\u003d (2/3) (x - 3) ^{(3/2) + 8 (x - 3) (1/2) + C}