Hvad er talteori?

Enhver, der nogensinde er blevet forelsket, vil fortælle dig, at det er de små ting ved den anden person, der betyder noget. De dumme in-jokes blev delt sidst på dagen. Det særlige ved den anden persons morgenkafferitual. Den måde, han eller hun lader gamle paperbacks stakke op på natbordet. Sådanne indbyrdes forbundne detaljer kommer til at definere os. De sporer understrømmene i vores personlighed, og, til det opmærksomme og kærlige øje, de belyser ægte skønhed.

I øjnene af nogle, der er ingen finere skønhed end den, der findes i matematik. De ser på talverdenen og ligesom du aldrig ville definere din menneskelige elskede udelukkende ud fra hans eller hendes erhverv eller hårfarve, den matematiske elsker ser ud over den blotte funktion af tal. Kan lide 6, 28 og 496 bliver til noget mere sublimt end simple informationsbærere. Uafhængigt af deres anvendelse, tal bliver fascinerende enheder, og deres matematiske forhold udtrykker kompleksiteten af ​​et stort system, der ligger til grund for selve naturen.

Studiet af de undertiden subtile og vidtrækkende forhold er talteori , undertiden omtalt som højere regning . Nummerteoretikere undersøger egenskaberne af heltal , de naturlige tal, du kender som -1, -2, 0, 1, 2 og så videre. Det er dels teoretisk og dels eksperimentelt, som matematikere søger at opdage fascinerende og endda uventede matematiske interaktioner.

Hvilken slags forhold? Godt, vi kategoriserer faktisk heltal i forskellige taltyper baseret på deres forhold. Der er, selvfølgelig, ulige tal (1, 3, 5…), som ikke kan deles jævnt, og lige tal (2, 4, 6…), der kan. Der er kvadratiske tal , produceret ved at gange et andet tal med sig selv. For eksempel, 2 x 2 =4 og 3 x 3 =9, så 4 og 9 er begge kvadratiske tal. Så er 1 (1 x 1 =1) og det samme er 9, 801 (99 x 99 =9, 801). Vi udtrykker også disse fire eksempler som 2 ² , 3 ² , 1 ² og 99 ² .

Lad os nu tilføje endnu et niveau af intriger til dette eksempel. I nogle tilfælde, vi kan tilføje kvadratiske tal sammen for at producere andre kvadratiske tal i det, der kaldes a Pythagoras tredobbelt , som de passer til Pythagoras sætning (en ² + b ² =c ² ). Et eksempel på dette er 3 ² + 4 ² =5 ² , eller 3, 4, 5.

Talteori involverer analyse af sådanne matematiske forhold, samt stille nye spørgsmål om dem. Men hvad er egentlig en teori om tal? Hvad går ud på at formulere et bevis, og hvorfor forbliver nogle matematiske spørgsmål ubesvarede i århundreder?

Spørgsmål i talteori

Så, matematikverdenen byder på mange taltyper, hver med sine egne særlige egenskaber. Matematikere formulerer teorier om forholdet mellem tal og talgrupper. De fastholder deres teorier med aksiomer (tidligere etablerede udsagn formodes at være sande) og sætninger (udsagn baseret på andre sætninger eller aksiomer).

Det første trin i opbygningen af ​​en skinnende, ny, matematisk teori, imidlertid, stiller et teoretisk spørgsmål om talforhold. For eksempel, kan summen af ​​to terninger være en terning? Kan du huske de pythagoranske tredobler fra forrige side? Disse trioer med tre tal, såsom (3, 4, 5), løse ligningen a ² + b ² =c ² . Men hvad med a ³ + b ³ =c ³ ? Matematiker Pierre de Fermat stillede det samme spørgsmål om terninger og, i 1637, han hævdede at have udarbejdet en matematik bevis at, via linje efter linje med omhyggelig logik, viste ud over enhver tvivl, at nej, summen af ​​to terninger kan ikke være en terning. Vi kalder dette Fermats sidste sætning . Desværre, i stedet for at fremlægge det fulde bevis i sine noter, Fermat skrev bare, "Jeg har en virkelig fantastisk demonstration af dette forslag, som denne margen er for snæver til at indeholde" [kilde:NOVA].

Mere end tre og et halvt århundrede fulgte, hvor matematikere rundt om i verden forgæves forsøgte at genfinde Fermats bevis. Hvad kørte på denne søgen? Ikke noget, red akademisk stolthed og kærlighed til ren, abstrakt matematik. Så i 1993, ved hjælp af beregningsmatematik uopdaget på Fermats tid, Det lykkedes den engelske matematiker Andrew Wiles at bevise den 356-årige sætning. Eksperter fortsætter med at bestride, om Fermat faktisk udarbejdede et så fænomenalt bevis i sin pre-computer-alder, eller hvis han tog fejl.

Andre spørgsmål i talteori relaterede til forskellige opfattede eller teoretiske mønstre i tal eller talgrupper. Det hele begynder med det mest afgørende aspekt af intelligent tankegang:mønstergenkendelse. Brown University matematikprofessor Joseph H. Silverman lægger fem grundlæggende trin i talteori op:

• Akkumuler matematiske eller abstrakte data.
• Undersøg dataene, og søg efter mønstre eller relationer.
• Formuler en formodning (typisk i form af en ligning) for at forklare disse mønstre eller relationer.
• Test formodningen med yderligere data.
• Lav et bevis, der viser, at formodningen er korrekt. Beviset skal starte med kendte fakta og slutte med det ønskede resultat.

Fermats sidste sætning, derfor, var virkelig en formodning i 356 år og blev først en sand sætning i 1993. Andre, såsom Euclids bevis på uendelige primtal (hvilket beviser, at primtal er ubegrænsede), har været en solid model for matematisk ræsonnement siden 300 f.Kr. Endnu andre talteori -formodninger, både gammelt og nyt, forblive uisolerede.

Tal er lige så uendelige som menneskelig forståelse er begrænset, så talteori og dens forskellige underfelter vil fortsætte med at fange sindet hos matematikelskere i evigheder. Gamle problemer kan falde, men nye og mere komplicerede formodninger vil stige.

Udforsk linkene på den næste side for mere information om matematik.

For det meste, talteori er fortsat et rent abstrakt område af matematisk undersøgelse, men der findes applikationer inden for kryptografi, hvor talteori kan skabe enkle, men meget sikre koder. Andre anvendelsesområder omfatter digital informationsbehandling, computing, akustik og krystallografi.

Masser mere information

relaterede artikler

• Sådan fungerer matematik
• Sådan fungerer bit og byte
• Sådan fungerer fraktaler
• Sådan fungerer Tessellations
• Hvad var de berømte Blaise Pascal -opfindelser?

Kilder

• LeVeque, William J. "Elementary Theory of Numbers." Dover Publications, Inc. 1990.
• Silverman, Joseph H. "En venlig introduktion til talteori." 1997. Prentice Hall.
• "Løsning af Fermat:Andrew Wiles." NOVA Online. November 2000. (9. juni, kl. 2011) http://www.pbs.org/wgbh/nova/proof/wiles.html