Ny indsigt i at bevise matematisk millionproblem:Riemann-hypotesen (opdatering)

(Phys.org) - Forskere har opdaget, at løsningerne til en berømt matematisk funktion kaldet Riemann zeta -funktionen svarer til løsningerne fra en anden, anden form for funktion, der kan gøre det lettere at løse et af de største problemer i matematik:Riemann -hypotesen. Hvis resultaterne kan nøje verificeres, så ville det endelig bevise Riemann -hypotesen, som er værd $ 1, 000, 000 årtusindpris fra Clay Mathematics Institute.

Mens Riemann -hypotesen går tilbage til 1859, i de sidste 100 år har matematikere forsøgt at finde en operatørfunktion som den her opdagede, da det betragtes som et vigtigt trin i beviset.

"Så vidt vi ved, dette er første gang, at der er identificeret en eksplicit - og måske overraskende relativt simpel - operator, hvis egenværdier ['løsninger' i matrixterminologi] svarer nøjagtigt til de nontrivielle nuller i Riemann zeta -funktionen, "Dorje Brody, en matematisk fysiker ved Brunel University London og medforfatter af det nye studie, fortalt Phys.org .

Det, der stadig skal bevises, er det andet nøgletrin:at alle egenværdierne er reelle tal frem for imaginære. Hvis fremtidigt arbejde kan bevise dette, så ville det endelig bevise Riemann -hypotesen.

Brody og hans medforfattere, matematiske fysikere Carl Bender fra Washington University i St. Louis og Markus Müller fra University of Western Ontario, har udgivet deres arbejde i en nylig udgave af Fysisk gennemgangsbreve .

Mellemrum mellem primtal

Riemann -hypotesen rummer en så stærk tiltrækning, fordi den er dybt forbundet med talteori og, i særdeleshed, primtalene. I sit papir fra 1859, Den tyske matematiker Bernhard Riemann undersøgte fordelingen af ​​primtalene - eller mere præcist, problemet "givet et helt tal N, hvor mange primtal er der, der er mindre end N? "

Riemann formodede, at fordelingen af ​​primtalene mindre end N er relateret til de ikke -private nuller af det, der nu kaldes Riemann zeta -funktionen, ζ ( s ). (Nuller er løsningerne, eller værdierne for s der gør funktionen lig med nul. Selvom det var let for matematikere at se, at der altid er nuller s er et negativt lige tal, disse nuller betragtes som trivielle nuller og er ikke den interessante del af funktionen.)

Riemanns hypotese var, at alle de ikke -private nuller ligger langs en enkelt lodret linje (½ + det ) i det komplekse plan - hvilket betyder, at deres reelle komponent altid er ½, mens deres imaginære komponent jeg varierer, når du går op og ned ad linjen.

I løbet af de sidste 150 år har matematikere har fundet bogstaveligt talt billioner af ikke -private nuller, og alle har en reel komponent på ½, ligesom Riemann troede. Det er udbredt opfattelse, at Riemann -hypotesen er sand, og der er udført meget arbejde baseret på denne antagelse. Men trods intensiv indsats, Riemann -hypotesen - at alle de uendeligt mange nuller ligger på denne enkelt linje - er endnu ikke bevist.

Identiske løsninger

Et af de mest nyttige spor til at bevise Riemann -hypotesen er kommet fra funktionsteori, som afslører, at værdierne i den imaginære del, t , hvor funktionen forsvinder er diskrete tal. Dette tyder på, at de utriviale nuller danner et sæt reelle og diskrete tal, hvilket er ligesom egenværdierne for en anden funktion kaldet en differentialoperator, som er meget udbredt inden for fysik.

I begyndelsen af ​​1900 -tallet, denne lighed fik nogle matematikere til at spekulere på, om der virkelig findes en differentialoperator, hvis egenværdier nøjagtigt svarer til de ikke -private nuller i Riemann zeta -funktionen. I dag kaldes denne idé Hilbert-Pólya-formodningen, opkaldt efter David Hilbert og George Pólya - på trods af at ingen af ​​dem offentliggjorde noget om det.

"Da der ikke er nogen offentliggørelse af Hilbert eller Pólya, den nøjagtige erklæring fra Hilbert-Pólya-programmet er til en vis grad underlagt fortolkning, men det er sandsynligvis ikke urimeligt at sige, at den består af to trin:(a) find en operator, hvis egenværdier svarer til de ikke -private nuller i Riemann zeta -funktionen; og (b) bestemme, om egenværdierne er reelle, "Sagde Brody.

"Hovedfokus for vores arbejde hidtil har været på trin (a), "sagde han." Vi har identificeret en operator, hvis egenværdier nøjagtigt svarer til de ikke -private nuller i Riemann zeta -funktionen. Vi begynder kun at tænke på trin (b), og faktisk hvordan man tackler denne udfordring. Om det vil være svært eller let at udfylde de manglende trin mod trin (b), på dette tidspunkt kan vi ikke spekulere - der er brug for yderligere arbejde for at få en bedre fornemmelse af omfanget af vanskeligheder. "

Operatøren

En af de interessante ting ved den nyopdagede operatør er, at den har tætte bånd til kvantefysik.

I 1999, da matematiske fysikere Michael Berry og Jonathan Keating undersøgte Hilbert-Pólya-formodningen, de kom med en anden vigtig formodning. Hvis der findes en sådan operatør, de sagde, så skulle det svare til et teoretisk kvantesystem med særlige egenskaber. Dette kaldes nu Berry-Keating formodningen. Men ingen har nogensinde fundet et sådant system før nu, og dette er et andet vigtigt aspekt af det nye arbejde.

"Vi har identificeret en kvantiseringsbetingelse for Berry-Keating Hamiltonian, dermed i det væsentlige verificere gyldigheden af ​​Berry-Keating formodningen, "Sagde Brody.

Hamiltonianere bruges ofte til at beskrive energien i fysiske systemer. Den nye operatør, imidlertid, synes ikke at beskrive noget fysisk system, men er snarere en rent matematisk funktion.

"Det kan være skuffende, men sådan en Hamiltonian synes ikke at repræsentere fysiske systemer på nogen indlysende måde; eller i det mindste indtil videre fandt vi ingen indikation af, at vores hamiltonske svarer til noget fysisk system, "Sagde Brody.

"Men man kan så spørge 'hvorfor offentliggøre i PRL ? ' Svaret er, fordi mange af de teknikker, der bruges til nogle heuristiske analyser i vores papir, der er antydende, er lånt fra teknikker til pseudo-hermitisk PT-symmetrisk kvanteteori udviklet i løbet af de sidste 15 år eller deromkring. Den konventionelle forståelse af Hilbert-Pólya-formodningen er, at operatøren (hamiltonske) skal være hermitisk, og man forbinder dette naturligvis med kvanteteori, hvorved Hamiltonians konventionelt kræves at være hermitier. Vi foreslår en pseudo-hermitisk form af Hilbert-Pólya-programmet, hvilket for os virker værd at undersøge nærmere. "

Virkelige løsninger

Nu er den største udfordring, der er tilbage, at vise, at operatørens egenværdier er reelle tal.

Generelt, forskerne er optimistiske med, at egenværdierne faktisk er reelle, og i deres papir præsenterer de et stærkt argument for dette baseret på PT -symmetri, et begreb fra kvantefysikken. I bund og grund, PT-symmetri siger, at du kan ændre tegnene på alle fire komponenter i rumtid (tre rum- eller "paritetsdimensioner" og en tidsdimension), og, hvis systemet er PT-symmetrisk, så ser resultatet det samme ud som originalen.

Selvom naturen generelt ikke er PT-symmetrisk, operatøren, som fysikerne konstruerede er. Men nu vil forskerne vise, at denne symmetri bliver brudt. Som de forklarer i deres papir, hvis det kan påvises, at PT -symmetrien er brudt for den imaginære del af operatøren, så ville det følge, at egenværdierne alle er reelle tal, som endelig ville udgøre det længe ventede bevis på Riemann-hypotesen.

Det anses generelt for, at et bevis på Riemann -hypotesen vil være meget nyttigt inden for datalogi, især kryptografi. Forskerne vil også bestemme, hvad deres resultater faktisk kan betyde for at forstå mere grundlæggende matematiske principper.

"Det, vi hidtil har undersøgt, indeholder lidt talteoretisk indsigt; hvorimod man kan forvente, at i betragtning af dens betydning i talteori, ethvert forsøg, der med succes gør fremskridt med at etablere Riemann-hypotesen, ville give talteoretisk indsigt, "Sagde Brody." Selvfølgelig behøver dette slet ikke at være tilfældet, men ikke desto mindre ville det være interessant at undersøge, om nogen af ​​de dynamiske aspekter af det hypotetiske system, der er beskrevet af vores hamiltonske, kan være knyttet til visse talteoretiske resultater. I denne henseende semi-klassisk analyse af vores Hamiltonian ville være et af de næste mål. "

© 2017 Phys.org