En ny matematisk model forudsiger en knobs stabilitet

I sejlads, bjergbestigning, konstruktion, og enhver aktivitet, der kræver sikring af reb, visse knob er kendt for at være stærkere end andre. Enhver erfaren sømand ved, for eksempel, at én type knude vil sikre et lag til et forsejl, mens en anden er bedre til at koble en båd til en pæl.

Men hvad der præcist gør en knude mere stabil end en anden, er ikke blevet godt forstået, indtil nu.

MIT matematikere og ingeniører har udviklet en matematisk model, der forudsiger, hvor stabil en knude er, baseret på flere nøgleegenskaber, inklusive antallet af involverede krydsninger og den retning, hvori rebsegmenterne snoes, når knuden trækkes stramt.

"Disse subtile forskelle mellem knuder afgør kritisk, om en knude er stærk eller ej, " siger Jörn Dunkel, lektor i matematik ved MIT. "Med denne model, du burde kunne se på to knob, der er næsten identiske, og være i stand til at sige, hvilken der er den bedste."

"Empirisk viden forfinet gennem århundreder har udkrystalliseret, hvad de bedste knob er, tilføjer Mathias Kolle, Rockwell International Career Development Associate Professor ved MIT. "Og nu viser modellen hvorfor."

Dunkel, Kolle, og ph.d. studerende Vishal Patil og Joseph Sandt har offentliggjort deres resultater i dag i tidsskriftet Videnskab .

Trykfarve

I 2018, Kolles gruppe konstruerede strækbare fibre, der skifter farve som reaktion på belastning eller tryk. Forskerne viste, at når de trak i en fiber, dens nuance ændrede sig fra en regnbuefarve til en anden, især i områder, der oplevede det største stress eller pres.

Kolle, en lektor i maskinteknik, var inviteret af MITs matematikafdeling til at holde et foredrag om fibrene. Dunkel var blandt publikum og begyndte at lave en idé:Hvad hvis de trykfølende fibre kunne bruges til at studere stabiliteten i knob?

Matematikere har længe været fascineret af knuder, så meget, at fysiske knob har inspireret et helt underfelt af topologi kendt som knudeteori - studiet af teoretiske knuder, hvis ender, i modsætning til faktiske knob, samles for at danne et kontinuerligt mønster. I knudeteori, matematikere søger at beskrive en knude i matematiske termer, sammen med alle de måder, hvorpå den kan vrides eller deformeres, mens den stadig bevarer sin topologi, eller generel geometri.

"I matematisk knudeteori, du smider alt ud, der er relateret til mekanik, Dunkel siger. "Du er ligeglad med, om du har en stiv eller blød fiber - det er den samme knude fra en matematikers synspunkt. Men vi ville se, om vi kunne tilføje noget til den matematiske modellering af knuder, der redegør for deres mekaniske egenskaber, at kunne sige, hvorfor en knude er stærkere end en anden."

Spaghetti fysik

Dunkel og Kolle gik sammen for at identificere, hvad der bestemmer en knudes stabilitet. Holdet brugte først Kolles fibre til at binde en række forskellige knob, inklusive trekløver og otte-tal knob - konfigurationer, som var kendt for Kolle, der er en ivrig sømand, og til klippeklatrende medlemmer af Dunkels gruppe. De fotograferede hver fiber, at notere hvor og hvornår fiberen skiftede farve, sammen med den kraft, der blev påført fiberen, da den blev trukket stramt.

Forskerne brugte dataene fra disse eksperimenter til at kalibrere en model, som Dunkels gruppe tidligere implementerede til at beskrive en anden type fiber:spaghetti. I den model, Patil og Dunkel beskrev spaghetti og andre fleksible adfærd, reb-lignende strukturer ved at behandle hver tråd som en kæde af små, diskrete, fjederforbundne perler. Måden hver fjeder bøjer og deformerer på kan beregnes ud fra den kraft, der påføres hver enkelt fjeder.

Kolles elev Joseph Sandt havde forinden tegnet et farvekort baseret på forsøg med fibrene, som korrelerer en fibers farve med et givet tryk påført den fiber. Patil og Dunkel inkorporerede dette farvekort i deres spaghettimodel, brugte derefter modellen til at simulere de samme knuder, som forskerne havde bundet fysisk ved hjælp af fibrene. Da de sammenlignede knuderne i eksperimenterne med dem i simuleringerne, de fandt, at farvemønstret i begge var stort set det samme - et tegn på, at modellen nøjagtigt simulerede fordelingen af ​​stress i knob.

Med tillid til deres model, Patil simulerede derefter mere komplicerede knob, noterer sig, hvilke knob der oplevede mere pres og derfor var stærkere end andre knob. Når de først kategoriserede knob baseret på deres relative styrke, Patil og Dunkel ledte efter en forklaring på, hvorfor visse knuder var stærkere end andre. At gøre dette, de tegnede enkle diagrammer for den kendte bedstemor, rev, tyv, og sorgknuder, sammen med mere komplicerede, såsom carrick, zeppelin, og alpin sommerfugl.

Hvert knudediagram viser mønsteret af de to tråde i en knude, før det strammes. Forskerne inkluderede retningen af ​​hvert segment af en streng, når det trækkes, sammen med hvor tråde krydser. De bemærkede også den retning, hvert segment af en streng roterer, når en knude strammes.

Ved at sammenligne diagrammerne over knob med forskellige styrker, forskerne var i stand til at identificere generelle "tælleregler, " eller egenskaber, der bestemmer en knudes stabilitet. Dybest set, en knude er stærkere, hvis den har flere trådkrydsninger, samt flere "twistudsving" - ændringer i rotationsretningen fra et strengsegment til et andet.

For eksempel, hvis et fibersegment drejes til venstre ved en krydsning og drejes til højre ved en nabokrydsning, når en knude strammes, dette skaber et twist-udsving og dermed modsat friktion, hvilket tilføjer stabilitet til en knude. Hvis, imidlertid, segmentet drejes i samme retning ved to nabokrydsninger, der er ingen twist udsving, og strengen er mere tilbøjelig til at rotere og glide, producerer en svagere knude.

De fandt også ud af, at en knude kan gøres stærkere, hvis den har flere "cirkulationer, "som de definerer som et område i en knude, hvor to parallelle tråde sløjfes mod hinanden i modsatte retninger, som et cirkulært flow.

Ved at tage hensyn til disse enkle tælleregler, holdet var i stand til at forklare, hvorfor en revknude, for eksempel, er stærkere end en bedstemor knude. Mens de to er næsten identiske, revknuden har et højere antal snoningsudsving, gør det til en mere stabil konfiguration. Ligeledes, Zeppelin-knuden, på grund af dets lidt højere cirkulationer og twist udsving, er stærkere, selvom det muligvis er sværere at løsne, end alpesommerfuglen - en knude, der almindeligvis bruges i klatring.

"Hvis du tager en familie af lignende knob, hvorfra empirisk viden udpeger en som "den bedste, "nu kan vi sige, hvorfor det kunne fortjene denne sondring, siger Kolle, hvem forestiller sig, at den nye model kan bruges til at konfigurere knob med forskellige styrker, så de passer til bestemte applikationer. "Vi kan spille knuder mod hinanden til brug i suturering, sejlads, klatring, og byggeri. Det er vidunderligt."

Denne historie er genudgivet med tilladelse fra MIT News (web.mit.edu/newsoffice/), et populært websted, der dækker nyheder om MIT-forskning, innovation og undervisning.