Formel for en Octagon

I geometri er en ottekant en polygon med otte sider. En regelmæssig ottekant har otte lige sider og lige vinkler. Den regelmæssige ottekant er almindeligt anerkendt fra stop tegn. En oktaedron er en otte sidet polyhedron. En regelmæssig oktaedron har otte trekanter med kanter af lige længde. Det er faktisk to firkantede pyramider, der mødes på deres baser.

Octagon Area Formula

Formlen for området med en regelmæssig ottekant med sider af længden "a" er 2 (1 + sqrt (2 )) a ^ 2, hvor "sqrt" angiver kvadratroden.

Derivation

En ottekant kan ses som 4 rektangler, en firkant i midten og fire isosceles trekanter i hjørnerne.

Firkanten er af område a ^ 2.

Trianglerne har sider a, a /sqrt (2) og a /sqrt (2) ved Pythagoras sætning. Derfor har hver et område på ^ 2 /4.

Rektanglerne er af område a * a /sqrt (2).

Summen af ​​disse 9 områder er 2a ^ 2 ( 1 + sqrt (2)).

Octahedron Volume Formula

Formlen for volumenet af en regelmæssig oktaedron af sider "a" er en ^ 3 * sqrt (2) /3.

Derivation

Området af en firesidet pyramide er område af base * højde /3. Området af en regelmæssig ottekant er derfor 2 * base * højde /3.

Base = a ^ 2 trivielt.

Vælg to tilstødende hjørner, siger "F" og "C." "O" er i centrum. FOC er en ligemæssig højre trekant med basis "a", så OC og OF har længde a /sqrt (2) ved den pythagoriske sætning. Så højden = a /sqrt (2).

Så volumenet af en regelmæssig oktaedron er 2 * (a ^ 2) * a /sqrt (2) /3 = a ^ 3 * sqrt (2) /3.

Overfladeareal

Den regelmæssige oktaedronoverfladen er området for en lige sidetrejant af side "a" gange 8 ansigter.

For at bruge Pythagoras sætning, slip en linje fra top til bund. Dette skaber to rigtige trekanter, med hypotenus længden "a" og en sidelængde "a /2". Derfor skal den tredje side være sqrt [a ^ 2 - a ^ 2/4] = sqrt (3) a /2. Så arealet af en ligesidet trekant er højden * base /2 = sqrt (3) a /2 * a /2 = sqrt (3) a ^ 2/4.

Med 8 sider er overfladearealet af en regelmæssig oktaedron er 2 * sqrt (3) * a ^ 2.