Hvad er bevægelsesligning på sfærisk polær koordinat?

Her er sammenbruddet:

1. Sfæriske polære koordinater:

* r: Radial afstand fra oprindelsen.

* θ: Polær vinkel (vinkel fra z-aksen).

* φ: Azimuthal vinkel (vinkel i XY-planet fra X-aksen).

2. Hastighed og acceleration:

* hastighed:

* v_r =dr/dt (radial hastighed)

* v_θ =r dθ/dt (vinkelhastighed i θ retning)

* v_φ =r sin (θ) dφ/dt (vinkelhastighed i φ retning)

* Acceleration:

* A_R =D²R/DT² - R (Dθ/DT) ² - R sin² (θ) (Dφ/DT) ² (radial acceleration)

* a_θ =r d²θ/dt² + 2 (dr/dt) (dθ/dt) - r sin (θ) cos (θ) (dφ/dt) ² (vinkelacceleration i θ -retning)

* a_φ =r sin (θ) d²φ/dt² + 2 (dr/dt) sin (θ) (dφ/dt) + 2r cos (θ) (dθ/dt) (dφ/dt) (vinkelacceleration i φ -retningen)

3. Newtons anden lov:

* f =ma

* f_r =m a_r

* f_θ =m a_θ

* f_φ =m a_φ

4. Bevægelsesligninger:

Ved at erstatte udtrykkene med acceleration i ligningerne ovenfor får vi bevægelsesligningerne:

* radial retning:

m (d²r/dt² - r (dθ/dt) ² - r sin² (θ) (dφ/dt) ²) =f_r

* polær vinkelretning:

m (r d²θ/dt² + 2 (dr/dt) (dθ/dt) - r sin (θ) cos (θ) (dφ/dt) ²) =f_θ

* azimuthal vinkelretning:

m (r sin (θ) d²φ/dt² + 2 (dr/dt) sin (θ) (dφ/dt) + 2r cos (θ) (dθ/dt) (dφ/dt)) =f_φ

5. Vigtige punkter:

* f_r, f_θ, f_φ: Disse repræsenterer komponenterne i nettokraften, der virker på partiklen i henholdsvis den radiale, polære og azimuthale retninger.

* Løsning af ligningerne: Disse ligninger er andenordens differentialligninger, og løsning af dem kræver at specificere de oprindelige betingelser (position og hastighed ved t =0) og den kraft, der virker på partiklen.

Eksempel:

For en partikel, der bevæger sig under påvirkning af en central kraft (som tyngdekraften), er kraftkomponenterne:

* F_r =-k/r² (hvor k er en konstant)

* F_θ =0

* F_φ =0

Tilslutning af disse bevægelsesligninger får vi de specifikke ligninger for en partikel, der bevæger sig under en central kraft i sfæriske polære koordinater.

Fortæl mig, hvis du gerne vil se ligningerne for bevægelsesfelter for specifikke kraftfelter, eller hvis du har andre spørgsmål!