Hvad er den lille vinkelformel?

Den lille vinkelformel, også kendt som paraxial tilnærmelse , er en forenkling af trigonometriske funktioner, der gælder for små vinkler. Det siger, at for en lille vinkel θ (målt i radianer):

* sin θ ≈ θ

* tan θ ≈ θ

* cos θ ≈ 1

Ansøgninger:

Den lille vinkelformel er vidt brugt på forskellige felter, herunder:

* optik: For at tilnærme sig lysstrålerne gennem linser og spejle.

* mekanik: At analysere bevægelsen af ​​pendler og andre svingende systemer.

* Astronomi: At beregne afstande og størrelser af himmelobjekter.

* Civilingeniør: At designe strukturer, der er stabile under små afbøjningsvinkler.

afledning:

Tilnærmelsen af ​​små vinkler er afledt af Taylor-serien udvidelse af sinus-, tangent- og kosinusfunktioner. For små vinkler bliver de højere ordensbetingelser i Taylor-serien ubetydelig, hvilket fører til følgende tilnærmelser:

* sin θ =θ - (θ^3/3!) + (θ^5/5!) - ... ≈ θ

* tan θ =θ + (θ^3/3) + (2θ^5/15) + ... ≈ θ

* cos θ =1 - (θ^2/2!) + (θ^4/4!) - ... ≈ 1

Bemærk:

Den lille vinkelformel er kun gyldig for vinkler, der er små nok, typisk mindre end 10 grader (eller 0,17 radianer). Når vinklen øges, bliver tilnærmelserne mindre nøjagtige.