Beregn det elektriske quadrupol -øjeblik i ekstrem enkelt partikelmodel?

forståelse af det grundlæggende

* Elektrisk quadrupol Moment: Denne mængde måler afvigelsen for en ladningsfordeling fra sfærisk symmetri. Et positivt quadrupol-øjeblik indikerer en prolat (fodboldlignende) form, mens et negativt øjeblik indikerer en obligation (pandekage-lignende) form.

* ekstrem enkeltpartikelmodel: Denne model forenkler kernen ved at antage, at alle nukleoner (protoner og neutroner) undtagen en er på en sfærisk symmetrisk kerne. Den enkelte partikel uden for kernen bidrager med hele quadrupol -øjeblik.

Beregning

1. Overvej den enkelte partikel: Vi er nødt til at fokusere på den enkelte partikel uden for kernen. Lad os antage, at det har en afgift *e *og er i en orbital med vinkelmoment *l *.

2. kvantiser vinkelmomentet: I kvantemekanik kvantificeres*z*-komponenten af ​​vinkelmomentum, hvilket betyder, at det kun kan påtage sig diskrete værdier:*m*ħ, hvor*m*spænder fra -*l*til +*l*.

3. Definer quadrupolmomentoperatøren: Quadrupol -momentoperatøren, *Q *, er givet af:

*Q*=(2/e) σ*i*(3*z _i ² - *r _i ² )

* * i * angiver hver partikel i kernen.

* * Z _i *er *z *-koordinatet af den *i *-te partikel.

* * r _i *er den radiale afstand af den *i *-te partikel fra kernen.

4. Evaluer for den enkelte partikel: Da vi har at gøre med den ekstreme enkeltpartikelmodel, behøver vi kun at overveje den enkelte partikels bidrag:

*Q*=(2/e) (3*z ² - *r ² )

5. Express i sfæriske koordinater: Konverter * z * og * r * til sfæriske koordinater (r, θ, φ):

* * z * =* r * cos (θ)

* * r ² * =* r ² *

6. Forenkle: Udskift i quadrupol -øjeblik ligning:

*Q *=(2/e) *r ² (3 cos ² (θ) - 1)

7. gennemsnit over vinkelkoordinater: Quadrupol -øjeblik er en forventningsværdi. For at finde det, er vi nødt til at gennemsnit i gennemsnit over alle mulige vinkler:

*Q *=(2/e) *r ² ∫ ₀ ^2π dφ ∫ ₀ ^π sin (θ) (3 cos ² (θ) - 1) dθ

8. Evaluer integralerne: Det integrerede evalueres til:

*Q *=(4/5) *e * *r ²

9. Endelig udtryk: Det elektriske quadrupol-øjeblik for en enkelt partikel i den ekstreme enkeltpartikelmodel er:

*Q *=(4/5) *e * *r ²

Fortolkning

*Quadrupol -øjeblik afhænger af ladningen (*e*) og den radiale afstand firkantet (*r ² *) af den enkelte partikel.

* En større * r * (partikel længere væk fra kernen) fører til et større quadrupol -øjeblik.

* Tegnet på quadrupol -øjeblik (positivt i dette tilfælde) indikerer en prolatform, der er i overensstemmelse med en enkelt partikel, der sidder uden for en sfærisk symmetrisk kerne.

Bemærk: Denne beregning antager en enkelt partikel i kernen. For ægte kerner bidrager flere partikler, og der er behov for mere sofistikerede modeller for nøjagtigt at beregne quadrupol -øjeblik.