Sådan finder du en eksponentiel ligning med to punkter

Hvis du kender to punkter, der falder på en bestemt eksponentiel kurve, kan du definere kurven ved at løse den generelle eksponentielle funktion ved hjælp af disse punkter. I praksis betyder dette at erstatte punkterne for y og x i ligningen y = ab ^{x. Fremgangsmåden er lettere, hvis x-værdien for et af punkterne er 0, hvilket betyder at punktet er på y-aksen. Hvis hverken punkt har en nul x-værdi, er processen til løsning af x og y en smule mere kompliceret.}

Hvorfor eksponentielle funktioner er vigtige

Mange vigtige systemer følger eksponentielle vækstmønstre og henfald. For eksempel stiger antallet af bakterier i en koloni normalt eksponentielt, og omgivende stråling i atmosfæren efter en atomaktivitet falder normalt eksponentielt. Ved at tage data og plotte en kurve er forskerne bedre i stand til at lave forudsigelser.

Fra et par punkter til en graf

Enhver punkt på en todimensionel graf kan repræsenteres af to tal, som normalt skrives i formularen (x, y), hvor x definerer den vandrette afstand fra oprindelsen og y repræsenterer den vertikale afstand. For eksempel er punktet (2, 3) to enheder til højre for y-aksen og tre enheder over x-aksen. På den anden side er punktet (-2, -3) to enheder til venstre for y-aksen. og tre enheder under x-aksen.

Hvis du har to punkter, (x _{1, y 1) og (x 2, y 2) kan definere den eksponentielle funktion, der passerer gennem disse punkter ved at erstatte dem i ligningen y = ab ^{x og løse for a og b. Generelt skal du løse dette par af ligninger:}}

y _{1 = ab ^{x1 og y 2 = ab x2,. denne form, matematikken ser lidt kompliceret ud, men det ser mindre ud, efter at du har lavet nogle få eksempler.}}

Et punkt på X-aksen

Hvis en af ​​x-værdierne - - Sig x _{1 - er 0, operationen bliver meget enkel. For eksempel giver løsningen af ​​ligningen for punkterne (0, 2) og (2, 4):}

2 = ab ^{0 og 4 = ab 2. Da vi ved, at b 0 = 1 bliver den første ligning 2 = a. At erstatte en i den anden ligning giver 4 = 2b 2, som vi forenkler til b 2 = 2 eller b = kvadratroten på 2, hvilket svarer til ca. 1,41. Den definerende funktion er så y = 2 (1.41) x.}

Hverken punkt på X-aksen

Hvis hverken x-værdi er nul, er løsningen af ​​parret ligninger lidt mere besværligt. Henochmath går os igennem et let eksempel for at afklare denne procedure. I sit eksempel valgte han paret af punkter (2, 3) og (4, 27). Dette giver følgende par ligninger:

27 = ab ⁴

3 = ab ²

Hvis du deler den første ligning med den anden, du får

9 = b ²

så b = 3. Det er muligt for b også at være lig med -3, men i dette tilfælde antage det er positivt.

Du kan erstatte denne værdi for b i begge ligninger for at få en. Det er nemmere at bruge den anden ligning, så:

3 = a (3) ^{2 som kan forenkles til 3 = a9, a = 3/9 eller 1/3.}

Ligningen der passerer gennem disse punkter kan skrives som y = 1/3 (3) ^x.

Et eksempel fra den virkelige verden

Siden 1910 har den menneskelige befolkningsvækst været eksponentiel, og ved at udarbejde en vækstkurve er forskerne bedre i stand til at forudsige og planlægge for fremtiden. I 1910 var verdens befolkning 1,75 mia., Og i 2010 var det 6,87 mia. Med 1910 som udgangspunkt, giver dette paret point (0, 1.75) og (100, 6.87). Fordi x-værdien af ​​det første punkt er nul, kan vi let finde en.

1.75 = ab ^{0 eller a = 1.75. Plugging denne værdi sammen med de i det andet punkt i den generelle eksponentielle ligning producerer 6.87 = 1.75b 100, hvilket giver værdien af ​​b som hundredtheden af ​​6.87 /1.75 eller 3.93. Så ligningen bliver y = 1,75 (hundrede rod af 3,93) x. Selv om det kræver mere end en diasregel at gøre det, kan forskere bruge denne ligning til at projicere fremtidige befolkningsnumre for at hjælpe politikere i nutiden til at skabe passende politikker.}