3 Metoder til løsning af systemer af ligninger

De tre metoder, der oftest bruges til at løse systemer af ligning, er substitution, eliminering og forstørrede matricer. Substitution og eliminering er enkle metoder, der effektivt kan løse de fleste systemer i to ligninger i et par enkle trin. Metoden med forstørrede matricer kræver flere trin, men dens anvendelse strækker sig til en større række systemer.

Substitution

Substitution er en metode til at løse ligningssystemer ved at fjerne alt undtagen en af ​​variablerne i en af ​​ligningerne og derefter løse denne ligning. Dette opnås ved at isolere den anden variabel i en ligning og derefter erstatte værdier for disse variabler i en anden anden ligning. Hvis du f.eks. Skal løse systemet med ligninger x + y = 4, 2x - 3y = 3, isolerer du variablen x i den første ligning for at få x = 4 - y, og erstatter derefter denne værdi af y til den anden ligning for at få 2 (4 - y) - 3y = 3. Denne ligning forenkler til -5y = -5 eller y = 1. Tilslut denne værdi til den anden ligning for at finde værdien af ​​x: x + 1 = 4 eller x = 3.

Eliminering

Eliminering er en anden måde at løse systemer af ligninger ved at omskrive en af ​​ligningerne i form af kun en variabel. Afskaffelsesmetoden opnår dette ved at tilføje eller subtrahere ligninger fra hinanden for at afbryde en af ​​variablerne. F.eks. Tilføjer ligningerne x + 2y = 3 og 2x - 2y = 3 en ny ligning, 3x = 6 (bemærk at y-vilkårene er annulleret). Systemet løses derefter ved hjælp af de samme metoder som for substitution. Hvis det er umuligt at annullere variablerne i ligningerne, er det nødvendigt at multiplicere hele ligningen med en faktor for at gøre koefficienterne tilpas.

Augmented Matrix

Forøgede matricer kan også bruges til at løse systemer af ligninger. Den forstørrede matrix består af rækker for hver ligning, kolonner for hver variabel og en forstørret kolonne, der indeholder det konstante udtryk på den anden side af ligningen. For eksempel er den forstørrede matrix for systemet af ligninger 2x + y = 4, 2x - y = 0 [[2 1], [2-1] ... [4, 0]].

Bestemmelse af løsningen

Det næste trin indebærer at bruge elementære rækkehandlinger, såsom at gange eller dividere en række med en konstant anden end nul og tilføje eller subtrahere rækker. Målet med disse operationer er at konvertere matrixen til rækken-echelon form, hvor den første ikke-nul-post i hver række er en 1, poster over og under denne indgang er alle nuller, og den første ikke-nul-indgang for hver rækken er altid til højre for alle sådanne indgange i rækkerne over den. Rad-echelon form for ovenstående matrix er [[1 0], [0 1] ... [1, 2]]. Værdien af ​​den første variabel er angivet ved den første række (1x + 0y = 1 eller x = 1). Værdien af ​​den anden variabel er angivet ved anden række (0x + 1y = 2 eller y = 2).

Anvendelser

Substitution og eliminering er enklere metoder til løsning af ligninger og bruges meget hyppigere end forstørrede matricer i grundalgebra. Substitutionsmetoden er særlig nyttig, når en af ​​variablerne allerede er isoleret i en af ​​ligningerne. Elimineringsmetoden er nyttig, når koefficienten for en af ​​variablerne er den samme (eller dens negative ækvivalent) i alle ligningerne. Den primære fordel ved forstørrede matricer er, at den kan bruges til at løse systemer med tre eller flere ligninger i situationer, hvor substitution og eliminering enten er umulige eller umulige.