Standardformular for en linje

Du kan repræsentere enhver linje, som du kan grafere på en todimensionel x-y-akse med en lineær ligning. Et af de enkleste algebraiske udtryk, en lineær ligning er en, der relaterer den første effekt af x til den første kraft af y. En lineær ligning kan antage en af ​​tre former: slop-punktformen, hældningsaflytningsformen og standardformen. Du kan skrive standardformularen på en af ​​to tilsvarende måder. Den første er:

Axe + Ved + C = 0

hvor A, B og C er konstanter. Den anden måde er:

Axe + Ved = C

Bemærk, at disse er generelle udtryk, og konstanterne i det andet udtryk er ikke nødvendigvis de samme som dem i den første. Hvis du vil konvertere det første udtryk til det andet for bestemte værdier af A, B og C, skal du skrive Ax + By = -C.

Aflede standardformularen for en lineær ligning

En lineær ligning definerer en linje på xy-aksen. Ved at vælge to punkter på linjen, (x _{1, y 1) og (x 2, y 2) kan du beregne hældningen af ​​linjen (m). Per definition er det "stigningen over løbet" eller ændringen i y-koordinaten divideret med ændringen i x-koordinaten.}

m = Δy /Δx = (y _{2 - y 1) /x 2 - x 1)}

Lad nu (x _{1, y 1) være et bestemt punkt (a, b ) og lad (x 2, y 2) være undefined, det vil sige alle værdier af x og y. Udtrykket for hældning bliver}

m = (y - b) /(x - a), hvilket forenkler at

m (x - a) = y - b

Dette er linjens hældningspunktform. Hvis du vælger punktet (0, b) i stedet for (a, b) bliver denne ligning mx = y - b. Omlægning for at sætte y for sig selv på venstre side giver dig linjens hældningsafskærmningsform:

y = mx + b

Hældningen er normalt et brøknummer, så lad det være lige til (-A) /B). Du kan derefter konvertere dette udtryk til standardformularen for en linje ved at flytte x-termen og konstant til venstre og forenkle:

Axe + Ved = C, hvor C = Bb eller

Axe + Ved + C = 0, hvor C = -Bb

Eksempel 1

Konverter til standardformular: y = 3 /4x + 2

Multiplicér begge sider med 4

4y = 3x + 2

Træk 3x fra begge sider

4y - 3x = 2

Multiplicer med -1 for at gøre x-Term positiv

3x - 4y = 2

Denne ligning er i standardformular. A = 3, B = -2 og C = 2

Eksempel 2

Find standardformularligningen for linien, der passerer gennem punkterne (-3, -2) og (1, 4).

Find hældningen

m = (y _{2 - y 1) /x 2 - x 1) = [1 - (-3)] /[4 - 2] = 4/2}

m = 2

Find slope-point form ved hjælp af hældning og en af ​​punkterne

Den generiske hældningspunktformular er m (x - a) = y - b. Hvis du bruger punktet (1, 4), bliver dette

2 (x - 1) = y - 4

Forenkle

2x - 2 - y + 4 = 0

2x - y + 2 = 0

Denne ligning er i standardform Ax + Ved + C = 0 hvor A = 2, B = -1 og C = 2