Hvad er gensidige identiteter?

I matematik er en gensidig af et tal det tal, der, når det multipliceres med det oprindelige tal, producerer 1. For eksempel er gensidig for variablen x 1 /x, fordi x • 1 /x = x /x = 1. I dette eksempel er 1 /x den gensidige identitet af x og omvendt. I trigonometri kan en af de ikke-90-graders vinkler i en højre trekant defineres af forhold, der kaldes sinus, cosinus og tangent. Ved anvendelse af begrebet gensidige identiteter definerer matematikere tre yderligere forhold. Deres navne er kosecante, secant og cotangent. Cosecant er den gensidige identitet af sinus, secant den af cosinus og cotangent den af tangent.

Sådan bestemmes gensidige identiteter

Overvej en vinkel θ, som er en af de to ikke-90- gradersvinkler i en rigtig trekant. Hvis længden af siden af trekanten modsat vinklen er "b", er længden af siden støder op til vinklen og modsat hypotenusserne "a" og længden af hypotenussen er "r", kan vi definere de tre primære trigonometriske forhold i forhold til disse længder.

sinusθ = sin θ = b /r

cosinus θ = cos θ = a /r

tangent θ = tan θ = b /a

Den gensidige identitet af synden θ skal være lig med 1 /sin θ, da det er det tal, der multipliceres med synden θ, producerer 1. Det samme gælder for cos θ og tan θ. Matematikere giver disse reciprocals henholdsvis henholdsvis cosecant, secant og cotangent. Ved definition:

cosecant θ = csc θ = 1 /sin θ

secant θ = sec θ = 1 /cos θ

cotangent θ = cot θ = 1 /tan θ

Du kan definere disse gensidige identiteter i forhold til længderne af siderne af den højre trekant som følger:

< li> csc θ = r /b

sek θ = r /a

barneseng θ = a /b

Følgende forhold er sande for enhver vinkel θ:

synd θ • csc θ = 1

cos θ • sec θ = 1

tan θ • barneseng θ = 1

To andre trigonometriske identiteter

Hvis du kender sinus og cosinus af en vinkel, kan du udlede tangenten. Dette er sandt fordi synden θ = b /r og cos θ = a /r, så synden θ /cos θ = (b /r • r /a) = b /a. Da dette er definitionen af tan θ, følger følgende identitet, kendt som kvotientidentiteten:

synd θ /cos θ = tan θ

cos θ /sin θ = barneseng θ

Den pythagoranske identitet følger af, at for enhver retrig trekant med sider a og b og hypotenuse r er følgende sandt: a ^{2 + b ^{2 = r ^{2. Omarrangere udtryk og definere forhold i forhold til sinus og cosinus, kommer du til følgende udtryk:}}}

synd ^{2 θ + cos ^{2 θ = 1}}

To andre vigtige relationer Følg når du indsætter gensidige identiteter for sinus og cosinus i ovennævnte udtryk:

tan ^{2 θ + 1 = sec ^{2 θ}}

barneseng < sup> 2 θ + 1 = csc ^{2 θ}

Sidste artikelStandardformular for en linje

Næste artikelHvad er Pascals Triangle?