Hvad er Pascals Triangle?

Hvis du kan lide matematiske oddities, vil du elske Pascals trekant. Navngivet efter den franske matematiker Blaise Pascal fra det 17. århundrede og kendt for kineserne i mange århundreder før Pascal som Yanghui-trekanten, er det faktisk mere end en underlighed. Det er et specifikt arrangement af tal, der er utroligt nyttigt i algebra og sandsynlighedsteori. Nogle af dens egenskaber er mere forvirrende og interessante end de er nyttige. De hjælper med at illustrere verdens mystiske harmoni som beskrevet af tal og matematik.

TL; DR (for lang tid, ikke læst)

Pascal afledt trekanten ved at udvide (x + y) ^ n for at øge værdierne for n og arrangere koefficienterne af betingelserne i et trekantet mønster. Det har mange interessante og nyttige egenskaber.

Konstruktion af Pascal's Triangle

Reglen for konstruktion af Pascals trekant kunne ikke være nemmere. Start med nummer et ved toppunktet og form den anden række under det med et par. For at konstruere den tredje og alle efterfølgende rækker, start med at sætte en i begyndelsen og i slutningen. Afled hvert ciffer mellem dette par ved at tilføje de to cifre umiddelbart over det. Den tredje række er således 1, 2, 1, den fjerde række er 1, 3, 3, 1, den femte række er 1, 4, 6, 4, 1 og så videre. Hvis hvert ciffer indtager en boks, der er den samme størrelse som alle de andre kasser, udgør arrangementet en perfekt ensidig trekant afgrænset på to sider af dem og med en base, der er lig med længden af ​​rækkenes række. Rækkene er symmetriske, idet de læser det samme baglæns og fremad.

 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 
 Anvendelse af Pascal's Triangle i Algebra 
 
 Pascal opdagede trekanten, som i århundreder havde været kendt for persiske og kinesiske filosoffer, da han studerede ekspressionens algebraiske ekspansion (x + y)  n. Når du udvider dette udtryk til den nte effekt, svarer koefficienterne af betingelserne i ekspansionen til tallene i den tredje række af trekanten. For eksempel (x + y)  0 = 1; (x + y)  1 = x + y; (x + y)  2 = x  2 + 2xy + y  2 og så videre. Af denne grund kalder matematikere undertiden arrangementet trekant af binomiale koefficienter. For et stort antal n er det tydeligvis lettere at læse ekspansionskoefficienterne fra trekanten, end det er at beregne dem. 
 
 Pascals triangel i sandsynlighedsteori 
 
 Antag at du smider en mønt et bestemt antal gange. Hvor mange kombinationer af hoveder og haler kan du få? Du kan finde ud af ved at se på rækken i Pascals trekant, der svarer til antallet af gange, du kaster mønten, og tilføjer alle tallene i den række. For eksempel, hvis du kaster mønten 3 gange, er der 1 + 3 + 3 + 1 = 8 muligheder. Sandsynligheden for at få det samme resultat tre gange i træk er derfor 1/8. 
 
 På samme måde kan du bruge Pascals trekant til at finde ud af, hvor mange måder du kan kombinere objekter eller valg fra et givet sæt. Antag at du har 5 bolde, og du vil vide, hvor mange måder du kan vælge to af dem. Gå bare til den femte række og se på den anden post for at finde svaret, hvilket er 5. 
 
 Interessante mønstre 
 
 Pascals trekant indeholder en række interessante mønstre. Her er nogle af dem: 
 
 
 Summen af ​​tallene i hver række er dobbelt summen af ​​tallene i rækken ovenfor. 
 
 
 
 Læsning ned på begge sider, den første række er alle, den anden række er de tællende tal, den tredje er de trekantede tal, den fjerde tetrahedrale tal og så videre. 
 
 
 
 Hver række danner den tilsvarende eksponent af 11 efter en simpel ændring. 
 
 
 
 Du kan udlede Fibonacci-serien fra det trekantede mønster. 
 
 
 
 Farve alle de ulige tal og lige tal forskellige farver giver et visuelt mønster kendt som Sierpinski-trekanten.