Sådan beregnes prøveandelen?

Beregning af en prøveandel i sandsynlighedsstatistikker er ligetil. En sådan beregning er ikke kun et praktisk værktøj i sig selv, men det er også en nyttig måde at illustrere, hvordan prøvestørrelser i normale fordelinger påvirker standardafvigelserne for disse prøver.

Sig, at en baseballspiller batting .300 i løbet af en karriere, der inkluderer mange tusinder af plade-optrædener, hvilket betyder, at sandsynligheden for, at han vil få et basishit hver gang han står over for en kande, er 0,3. Fra dette er det muligt at bestemme, hvor tæt på .300 han vil ramme i et mindre antal pladeudseende.
Definitioner og parametre

Til disse problemer er det vigtigt, at prøvestørrelserne er tilstrækkelig store at give meningsfulde resultater. Produktet af prøvestørrelsen n
og sandsynligheden p
for den pågældende begivenhed skal være større end eller lig med 10, og på lignende måde produktet af prøvestørrelsen og et minus
sandsynligheden for, at begivenheden finder sted, må også være større end eller lig med 10. I matematisk sprog betyder det, at np ≥ 10 og n (1 - p) ≥ 10.

Prøven andel p̂ er simpelthen antallet af observerede hændelser x divideret med prøvestørrelsen n, eller p̂ \u003d (x /n).
Middel og standardafvigelse for variablen

Middelet af x er simpelthen np, antallet af elementer i prøven ganget med sandsynligheden for, at begivenheden finder sted. Standardafvigelsen for x er √np (1 - p).

At vende tilbage til baseballspillerens eksempel, antag at han har 100 pladeforestillinger i sine første 25 spil. Hvad er middel- og standardafvigelsen for antallet af hits, som han forventes at få?

np \u003d (100) (0.3) \u003d 30 og √np (1 - p) \u003d √ (100) (0.3) (0.7) \u003d 10 √0.21 \u003d 4.58.

Dette betyder, at spilleren, der får så få som 25 hits i sine 100 pladeforestillinger eller så mange som 35, ikke ville blive betragtet som statistisk afvigende. Afvigelse af prøveforholdet

Gennemsnittet af en hvilken som helst prøveandel p̂ er bare p. Standardafvigelsen for p̂ er √p (1 - p) /√n.

For baseballspilleren, med 100 forsøg på pladen, er middelværdien simpelthen 0.3 og standardafvigelsen er: √ (0.3) (0,7) /√100 eller (√0,21) /10 eller 0,0458.

Bemærk, at standardafvigelsen for p̂ er langt mindre end standardafvigelsen for x.