Hvad er gensidige identiteter?

I matematik er en gensidig gengivelse af et tal det antal, der multipliceres med det originale nummer 1. For eksempel er det gensidige for variablen x 1 /x, fordi x • 1 /x \u003d x /x \u003d 1. I dette eksempel er 1 /x den gensidige identitet af x, og vice versa. I trigonometri kan en af de ikke-90-graders vinkler i en højre trekant defineres ved forhold kaldet sinus, kosinus og tangens. Ved at anvende begrebet gensidig identitet definerer matematikere yderligere tre forhold. Deres navne er cosecant, secant og cotangent. Cosecant er den gensidige identitet af sinus, secant identiteten af kosinus og cotangent, identiteten med tangens. en højre trekant. Hvis længden på siden af trekanten modsat vinklen er "b", så er længden på den side, der støder op til vinklen og overfor hypotenuserne "a", og længden på hypotenusen er "r," kan vi definere de tre primære trigonometriske forhold med hensyn til disse længder.

sine θ \u003d sin θ \u003d b /r

cosinus θ \u003d cos θ \u003d a /r

tangens θ \u003d tan θ \u003d b /a

Den gensidige identitet af synd θ skal være lig med 1 /sin θ, da det er det antal, der ganges ganget synd θ, producerer 1. Det samme gælder for cos θ og tan θ. Matematikere giver disse gensidige navne henholdsvis co-, secant og cotangent. Per definition:

cosecant θ \u003d csc θ \u003d 1 /sin θ

secant θ \u003d sec θ \u003d 1 /cos θ

cotangent θ \u003d barneseng θ \u003d 1 /tan θ

Du kan definere disse gensidige identiteter i form af længderne på siderne i den højre trekant som følger:

< li> csc θ \u003d r /b

sec θ \u003d r /a

barneseng θ \u003d a /b

Følgende forhold gælder for enhver vinkel θ:

sin θ • csc θ \u003d 1

cos θ • sek θ \u003d 1

tan θ • barneseng θ \u003d 1

To andre trigonometriske identiteter

Hvis du kender sinus og cosinus i en vinkel, kan du udlede tangenten. Dette er sandt, fordi sin θ \u003d b /r og cos θ \u003d a /r, så sin θ /cos θ \u003d (b /r • r /a) \u003d b /a. Da dette er definitionen på tan θ, følger følgende identitet, kendt som kvotidentiteten:

sin θ /cos θ \u003d tan θ

cos θ /sin θ \u003d barneseng θ

Den pythagoreiske identitet følger af det faktum, at for enhver højre trekant med siderne a og b og hypotenuse r, er følgende sandt: a ^{2 + b ^{2 \u003d r ^{2. Omarrangering af udtryk og definition af forhold med hensyn til sinus og cosinus, når du til følgende udtryk:}}}

sin ^{2 θ + cos ^{2 θ \u003d 1}}

To andre vigtige forhold følg, når du indsætter gensidige identiteter for sinus og cosinus i ovenstående udtryk:

tan ^{2 θ + 1 \u003d sek ^{2 θ}}

barneseng < sup> 2 θ + 1 \u003d csc ^{2 θ}

Sidste artikelStandardform for en linje

Næste artikelSådan bestemmes om forholdet er en funktion