Standardform for en linje

Du kan repræsentere en hvilken som helst linje, som du kan tegne på en to-dimensionel x-y-akse med en lineær ligning. Et af de enkleste algebraiske udtryk, en lineær ligning er en, der relaterer den første magt af x til den første magt af y. En lineær ligning kan antage en af tre former: hældepunktformen, hældningsafskærmningsformen og standardformen. Du kan skrive standardformularen på en af to ækvivalente måder. Den første er:

Axe + Ved + C \u003d 0

hvor A, B og C er konstanter. Den anden måde er:

Ax + By \u003d C

Bemærk, at dette er generaliserede udtryk, og konstanterne i det andet udtryk er ikke nødvendigvis de samme som i den første. Hvis du vil konvertere det første udtryk til det andet for bestemte værdier for A, B og C, bliver du nødt til at skrive Ax + By \u003d -C.
Udledning af standardformularen til en lineær ligning

En lineær ligning definerer en linje på xy-aksen. Valg af to vilkårlige punkter på linjen (x _{1, y 1) og (x 2, y 2) giver dig mulighed for at beregne hældningen for linjen (m). Per definition er det "stigning i løbet" eller ændringen i y-koordinaten divideret med ændringen i x-koordinaten.}

m \u003d ∆y /∆x \u003d (y _{2 - y 1) /x 2 - x 1)}

Lad nu (x _{1, y 1) være et bestemt punkt (a, b ) og lad (x 2, y 2) undefineres, det vil sige alle værdier for x og y. Udtrykket for hældning bliver}

m \u003d (y - b) /(x - a), hvilket forenkler til

m (x - a) \u003d y - b

Dette er linjenes hældningspunktform. Hvis du i stedet for (a, b) vælger punktet (0, b), bliver denne ligning mx \u003d y - b. Omarrangering for at placere y i sig selv på venstre side giver dig linjen til hældningsafskærmning:

y \u003d mx + b

Hældningen er normalt et brøktal, så lad det være lige til (-A) /B). Du kan derefter konvertere dette udtryk til standardformularen for en linje ved at flytte x-termen og konstanten til venstre side og forenkle:

Ax + By \u003d C, hvor C \u003d Bb eller

Axe + Med + C \u003d 0, hvor C \u003d -Bb
Eksempel 1

Konverter til standardform: y \u003d 3 /4x + 2

1. Multiplicer begge sider med 4
   
   

   4y \u003d 3x + 2
   

2. Trækk 3x fra begge sider