Sådan forenkles radikale fraktioner

Radikale fraktioner er ikke lidt oprørske fraktioner, der holder sig ude, drikker og ryger gryden. I stedet er de fraktioner, der inkluderer radikaler - normalt firkantede rødder, når du først introduceres til konceptet, men senere kan du muligvis også støde på terningrødder, fjerde rødder og lignende, som alle også kaldes radikaler. Afhængigt af nøjagtigt, hvad din lærer beder dig om at gøre, er der to måder at forenkle radikale fraktioner: Enten faktorer radikalen helt ud, forenkler den eller "rationaliserer" fraktionen, hvilket betyder, at du fjerner radikalen fra nævneren, men muligvis stadig har en radikal i tælleren.
Annullering af radikale udtryk fra en brøk

Overvej din første mulighed, idet faktoren indtages fra radikalen. Der er faktisk to måder at gøre dette på. Hvis den samme radikale findes i alle udtryk
både i øverste og nederste del af brøkdelen, kan du blot udregne og annullere det radikale udtryk. For eksempel, hvis du har:

(2√3) /(3√3 _) _

Du kan udregne begge radikaler, fordi de er til stede i hvert sigt i tælleren og nævner. Det efterlader dig med:

√3 /√3 × 2/3

Og fordi enhver brøkdel med nøjagtigt samme ikke-nul-værdier i tæller og nævner er lig med en, kan du omskrive dette som:

1 × 2/3

Eller bare 2/3.
Forenkling af det radikale udtryk |

Nogle gange vil du blive konfronteret med et radikalt udtryk, der har ikke et præcist svar, ligesom √3 fra det foregående eksempel. I dette tilfælde vil du normalt bevare det radikale udtryk, ligesom det er, ved at bruge grundlæggende operationer som factoring eller annullering for enten at fjerne det eller isolere det. Men nogle gange er der et åbenlyst svar. Overvej følgende brøk:

(√4) /(√9)

I dette tilfælde, hvis du kender dine firkantede rødder, kan du se, at begge radikaler faktisk repræsenterer kendte heltal. Kvadratroten af 4 er 2, og kvadratroten på 9 er 3. Så hvis du ser velkendte kvadratroder, kan du bare omskrive brøkdelen med dem i deres forenklede heltalform. I dette tilfælde ville du have:

2/3

Dette fungerer også med terningrødder og andre radikaler. For eksempel er terningen rod fra 8 2 og terningen rod på 125 er 5. Så hvis du stødte på:

( ^{3√8) /( 3√125)}

Du ville med lidt øvelse kunne se med det samme, at det forenkles til det meget enklere og lettere at håndtere:

2/5
Rationalisering af nævneren |

Ofte vil lærere lade dig holde radikale udtryk i tælleren for din brøkdel; men ligesom antallet nul forårsager radikaler problemer, når de dukker op i nævneren eller bundtallet på brøkdelen. Så den sidste måde, du måske bliver bedt om at forenkle radikale fraktioner, er en operation kaldet rationalisering af dem, som bare betyder at få radikalen ud af nævneren. Ofte betyder det, at det radikale udtryk dukker op i tælleren i stedet.

Overvej brøkdelen

4 /_√_5

Du kan ikke let forenkle _√_5 til et helt tal, og selv hvis du udregner det, står du stadig med en brøkdel, der har en radikal i nævneren, som følger:

1 /_√_5 × 4/1

Så ingen af de allerede diskuterede metoder fungerer. Men hvis du husker egenskaberne ved fraktioner, er en brøkdel med et hvilket som helst ikke-nul tal på både øverste og nederste lig 1. Så du kunne skrive:

√_5 /
√_5 \u003d 1

Og fordi du kan multiplicere 1 gange noget andet uden at ændre værdien af den anden ting, kan du også skrive følgende uden faktisk at ændre værdien på brøkdelen:

√_5 /
√ 5 × 4 /
√_5

Når du multiplicerer på tværs, sker der noget specielt. Tælleren bliver 4_√_5, hvilket er acceptabelt, fordi dit mål simpelthen var at få radikalen ud af nævneren. Hvis det vises i tælleren, kan du håndtere det.

I mellemtiden bliver nævneren √_5 ×
√ 5 eller (
√_5) ^{2. Og fordi en kvadratrod og en firkant annullerer hinanden, forenkles det til blot 5. Så din fraktion er nu:}

4_√_5 /5, der betragtes som en rationel brøkdel, fordi der ikke er nogen radikale i nævneren.