Tip til løsning af algebraiske ligninger

Algebra markerer det første rigtige konceptuelle spring, som eleverne skal gøre i matematikens verden, lære at manipulere variabler og arbejde med ligninger. Når du begynder at arbejde med ligninger, vil du støde på nogle fælles udfordringer, herunder eksponenter, brøkdele og flere variabler. Alle disse kan mestres ved hjælp af et par grundlæggende strategier.
Den grundlæggende strategi for algebraiske ligninger

Den grundlæggende strategi til løsning af algebraisk ligning er først at isolere den variable term på den ene side af ligning, og anvend derefter omvendte operationer efter behov for at fjerne enhver koefficient eller eksponent. En omvendt operation "fortryder" en anden operation; " multiplikationen af en koefficient, og firkantede rødder "fortryder" kvadrationsoperationen for en anden-krafteksponent.

Bemærk, at hvis du anvender en operation på den ene side af en ligning, skal anvende den samme operation på den anden side af ligningen. Ved at opretholde denne regel kan du ændre måden, hvorpå en ligning er skrevet, uden at ændre deres forhold til hinanden. algebra-rejsen kunne let fylde en hel bog. For nu skal du fokusere på at mestre de mest basale af eksponentligninger, hvor du har en enkelt variabelbegivenhed med en eksponent. For eksempel:

y
2 + 3 \u003d 19

1. Isoler variablen
   
   

   Trækk 3 fra begge sider af ligningen, hvorved den variable term bliver isoleret på den ene side:
   

   y
   ^{2 \u003d 16}
   

2. Anvend en radikal
   
   

   Strib eksponenten væk fra variablen ved at anvende en gruppe med samme indeks. Husk, at du skal gøre dette på begge sider af ligningen. I dette tilfælde betyder det at tage kvadratroten fra begge sider:
   

   √ ( y
   ^{2) \u003d √16}
   

   Som forenkler til:
   

   y
   \u003d 4
   
   Løsning af ligninger med fraktioner
   

   Hvad hvis din ligning involverer en brøkdel? Overvej eksemplet med (3/4) ( x
   + 7) \u003d 6. Hvis du fordeler brøkdelen 3/4 på tværs ( x
   + 4), kan tingene blive rodede hurtigt. Her er en meget enklere strategi.
   

   1. Multiplicer med nævneren
      
      

      Multiplikér begge sider af ligningen med fraktionens nævner. I dette tilfælde betyder det at multiplicere begge sider af fraktionen med 4:
      

      (3/4) ( x
      + 7) (4) \u003d 6 (4)
      

   2. Forenkle begge sider -
      

      Forenkle begge sider af ligningen. Dette fungerer til:
      

      3 ( x
      + 7) \u003d 24
      

      Du kan forenkle igen, hvilket resulterer i:
      

      3_x_ + 21 \u003d 24
      

   3. Isoler variablen
      
      

      Trækk 21 fra begge sider, isoler variabeludtrykket på den ene side af ligningen:
      

      3_x_ \u003d 3
      

   4. Løs til x
      
      

      Til sidst deles begge sider af ligningen med 3 for at afslutte opløsningen for x
      :
      

      x
      \u003d 1
      
      Løsning af en ligning med to variabler
      

      Hvis du har en
      ligning med to variabler, bliver du sandsynligvis bedt om at løse for kun en af disse variabler. I dette tilfælde følger du stort set den samme procedure, som du ville bruge til enhver algebraisk ligning med en variabel. Overvej eksemplet 5_x_ + 4 \u003d 2_y_, hvis du bliver bedt om at løse for x
      .
      

      1. Isoler variabeludtrykket
         
         

         Trækk 3 fra hver side af ligningen, idet x
         -termen efterlades i sig selv på den ene side af ligetegnet:
         

         5_x_ \u003d 2_y_ - 4
         

      2. Stribe væk Alle koefficienter
         
         

         Del begge sider af ligningen med 5 for at fjerne koefficienten fra x
         -betegnelsen:
         

         x
         \u003d (2_y_ - 4) /5
         

         Hvis du ikke får andre oplysninger, er det så vidt du kan tage beregningerne.
         
         Løsning af to ligninger med to variabler
         

         Hvis du får en system (eller gruppe) af to
         ligninger, der har de samme to variabler i dem, dette betyder normalt, at ligningerne er relaterede - og du kan bruge en teknik kaldet substitution for at finde værdier for begge variabler. Overvej ligningen fra det sidste eksempel plus et andet relateret ligning, der bruger de samme variabler:
         
         

      3. 5_x_ + 4 \u003d 2_y_
         
         
      4. x
         + 3_y_ \u003d 23
         
         
         1. Løs for en variabel
            
            

            Vælg en ligning, og løst ligningen for en af variablerne. I dette tilfælde skal du bruge det, du allerede ved om den første ligning fra det forrige eksempel, som du allerede har løst til x
            :
            

            x
            \u003d (2_y_ - 4) /5
            

         2. Udskift resultatet i den anden ligning
            
            

            Udskift resultatet fra trin 1 i den anden ligning. Med andre ord, erstatt værdien (2_y_ - 4) /5 for alle tilfælde af x
            i den anden ligning. Dette giver dig en ligning med kun en variabel:
            

            [(2_y_ - 4) /5] + 3_y_ \u003d 23
            

         3. Løs til variablen
            
            

            Forenkle ligning fra trin 2 og løsning for den resterende variabel, som i dette tilfælde er y.
            
            

            Start med at multiplicere begge sider af (2_y_ - 4) /5 + 3_y_ \u003d 23 med 5:
            

            5 [(2_y_ - 4) /5 + 3_y_] \u003d 5 (23)
            

            Dette forenkler til:
            

            2_y_ - 4 + 15_y_ \u003d 115
            

            Efter at have kombineret lignende vilkår forenkles dette yderligere til:
            

            17_y_ \u003d 119
            

            Og til sidst, efter at have delt begge sider med 17, har du:
            

            y
            \u003d 7
            

         4. Erstat denne værdi i
            
            

            Udskift værdien fra trin 3 i ligningen fra trin 1. Dette giver dig:
            

            x
            \u003d [2 (7) - 4] /5
            

            Hvilket forenkler at afsløre værdien af x
            :
            

            x
            \u003d 2
            

            Så løsningen for dette ligningssystem er x
            \u003d 2 og y
            \u003d 7.