Sådan løses kubiske ligninger

De fleste matematiske elever kan løse lineære ligninger - ligninger, der indeholder en variabel som "x" uden eksponenter - med lidt problemer. Løsning af kvadratiske ligninger - ligninger, hvor variablen hæves til kraften af ​​to, som f.eks. "X ^ 2" - er lidt mere kompleks. Imidlertid kræver opløsning af kubiske ligninger - ligninger med en "x ^ 3" term - mange flere trin og giver problemer til selv de yderst dygtige til algebra. Denne vanskelighed kan henføres til formen af ​​en kubisk ligning, der kan se ud som et rutsjebane spor. Du kan følge disse trin på en lineær måde, og i praksis vil du hurtigt kunne løse kubiske ligninger.

Skriv den kubiske ligning i standard form ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d = 0. For eksempel, hvis ligningen du ønsker at løse er x ^ 3 = 7x + 6, omskriv den som x ^ 3 - 7x - 6 = 0.

Find en af ​​rødderne ved hjælp af substitutionsmetoder. Brug forsøg og fejl ved at tilslutte værdier for "x", indtil en rod er fundet. Kald denne rod "r1." I det forrige eksempel kan vi prøve x = 1, som fejler, og derefter prøve x = -1, hvilket resulterer i 1 ^ 3 - 7 (1) - 6 = 0, hvilket gælder. Nu kender du en rod, r1 = -1.

Brug faktor sætningen til at omskrive ligningen. Faktor (x - r1) ud af ligningen. Du vil blive tilbage med (x - r1) (x ^ 2 + ax + b) = 0. I eksemplet vil du omskrive ligningen som (x + 1) (x ^ 2 + ax + b) = 0.

Anvend syntetisk division til den oprindelige kubiske ligning for at give et kvadratisk udtryk. Skriv det resulterende kvadratiske udtryk som x ^ 2 + dx + f. Anvendelse af processen med syntetisk opdeling til den oprindelige kubiske ligning i eksemplet giver x ^ 2 - x - 6.

Multiplicér den første rotfaktor og den kvadratiske ekspression sammen og sæt den til nul. Kort sagt, vil du have ligningen (x - r1) (x ^ 2 + dx + f). For eksemplet er ligningen (x + 1) (x ^ 2 - x - 6) = 0.

Faktor denne nye ligning. Da den første rodfaktor allerede er faktureret, har du kun teknisk brug for at faktorere det kvadratiske udtryk. Du vil give en ligning af formularen (x - r1) (x - r2) (x - r3) = 0. I eksemplet er resultatet (x + 1) (x - 3) (x + 2) = 0 .

Find rødderne af denne ligning. Disse rødder er løsningerne på den oprindelige kubiske ligning. Rødderne er simpelthen de tal, du ser på venstre side af ligningen, hver gang ganget med -1. Løsningerne for "x" er derfor "r1," "r2" og "r3." I eksemplet er løsningerne x = -1, x = 3 og x = -2.