Sådan bruges den kvadratiske formel

En kvadratisk ligning er en, der indeholder en enkelt variabel, og hvor variablen er kvadret. Standardformularen for denne type ligning, som altid producerer en parabola, når den er tegnet, er ax
<sup>2 + bx
+ c
= 0, hvor < em> a
, b
og c
er konstanter. At finde løsninger er ikke så ligetil som det er for en lineær ligning, og en del af årsagen er, at der på grund af den kvadratiske term er der altid to løsninger. Du kan bruge en af ​​tre metoder til at løse en kvadratisk ligning. Du kan faktor vilkårene, som fungerer bedst med enklere ligninger, eller du kan fuldføre firkanten. Den tredje metode er at bruge den kvadratiske formel, som en generaliseret løsning til hver kvadratisk ligning.</sup>

Den kvadratiske formel

For en generel kvadratisk ligning af formularen ax
< sup> 2 + bx
+ c
= 0, løsningerne er givet ved denne formel:

x
= [- b
± √ ( b
^{2 - 4_ac_)] ÷ 2_a_}

Bemærk, at ± tegnene inden for parenteserne betyder, at der altid er to løsninger. En af løsningerne bruger [- b
+ √ ( b
<sup>2 - 4_ac_)] ÷ 2_a_, og den anden løsning bruger [- b
- √ ( b
2 - 4_ac_)] ÷ 2_a_.</sup>

Brug af den kvadratiske formel

Før du kan bruge den kvadratiske formel, skal du lave sikker på, at ligningen er i standardform. Det kan ikke være. Nogle x
^{2 udtryk kan være på begge sider af ligningen, så du bliver nødt til at samle dem på højre side. Gør det samme med alle x-termer og konstanter.}

Eksempel: Find opløsningerne til ligningen 3_x_ ^{2 - 12 = 2_x _ ( x
-1).}

Konverter til standardformular

Udvid parenteserne:

3_x_ ^{2 - 12 = 2_x_ 2 - 2_x_}

Subtrahere 2_x_ ^{2 og fra begge sider. Tilføj 2_x_ til begge sider}

3_x_ ^{2 - 2_x_ 2 + 2_x_ - 12 = 2_x_ 2 -2_x_ 2 -2_x_ + 2_x_}

3_x_ < sup> 2 - 2_x_ ^{2 + 2_x_ - 12 = 0}

x
^{2 - 2_x_ -12 = 0}

Denne ligning er i standardformular ax
<sup>2 + bx
+ c
= 0 hvor en
= 1, b
= -2 og c
= 12</sup>

Tilslut værdierne a, b og c til den kvadratiske formel

Den kvadratiske formel er

x
= [- b
± √ ( b
^{2 - 4_ac_)] ÷ 2_a_}

Siden a
= 1 < em> b
= -2 og c
= -12, bliver dette

x
= [- (-2) ± √ {(-2) ^{2 - 4 (1 × -12)}] ÷ 2 (1)}

Forenkle

x
= [2 ± √ {4 + 48}] ÷ 2.

x
= [2 ± √52] ÷ 2

x
= [2 ± 7,21] ÷ 2

x
= 9,21 ÷ 2 og x
= -5,21 ÷ 2

x
= 4.605 og x
= -2.605

To andre måder at løse kvadratiske ligninger på

Du kan løse kvadratiske ligninger ved factoring. For at gøre dette, gætter du mere eller mindre på et par tal, som, når de tilføjes sammen, giver konstanten b
, og når de multipliceres sammen, giver konstanten c
. Denne metode kan være vanskelig, når der er involveret fraktioner. og ville ikke fungere godt for ovenstående eksempel.

Den anden metode er at fuldføre pladsen. Hvis du har en ligning er standardformularen, ax
<sup>2 + bx
+ c
= 0, sæt c
til højre side og tilføj termen ( b
/2) 2 til begge sider. Dette giver dig mulighed for at udtrykke venstre side som ( x
+ d
) 2, hvor d
er en konstant. Du kan så tage kvadratroten på begge sider og løse for x
. Igen er ligningen i ovenstående eksempel lettere at løse ved hjælp af den kvadratiske formel.</sup>