Et rumfartøj kredserer en ukendt planet i en afstand af 5,2 x 107 m fra dens centrum, hvor bane er 52 timer?

forståelse af koncepterne

* orbital periode: Den tid det tager for et objekt at gennemføre en fuld bane omkring et andet objekt.

* gravitationskraft: Kraften til tiltrækning mellem to objekter med masse.

* centripetal kraft: Kraften, der holder et objekt i bevægelse i en cirkulær sti.

Anvendelse af koncepterne

1. Newtons Law of Universal Gravitation: Tyngdekraften mellem rumfartøjet og planeten er givet af:

`` `

F =g * (m1 * m2) / r^2

`` `

hvor:

* F er gravitationskraft

* G er gravitationskonstanten (6,674 × 10^-11 m^3 kg^-1 s^-2)

* M1 er rumfartøjets masse

* M2 er planetens masse

* r er afstanden mellem deres centre

2. centripetal kraft: Rumfartøjet er i kredsløb, hvilket betyder, at det bevæger sig i en cirkel. Kraften, der holder den på denne sti, er den centripetale kraft:

`` `

F =(m1 * v^2) / r

`` `

hvor:

* V er rumfartøjets orbitalhastighed

3. Ligestilling af kræfter: Da gravitationskraft er det, der giver centripetalkraften til at holde rumfartøjet i kredsløb, kan vi sidestille de to ligninger ovenfra:

`` `

G * (m1 * m2) / r^2 =(m1 * v^2) / r

`` `

4. orbital hastighed og periode: Vi kan relatere orbitalhastigheden (V) til orbitalperioden (T) ved hjælp af:

`` `

v =2 * pi * r / t

`` `

5. Løsning til planetens masse:

* Udskift udtrykket for orbitalhastighed (V) i ligningen fra trin 3.

* Omarranger ligningen for at løse for planetens masse (M2).

Beregninger

1. Konverter periode til sekunder: 52 timer * 3600 sekunder/time =187200 sekunder

2. erstatning og løsning:

* G * (m1 * m2) / r^2 =(m1 * (2 * pi * r / t)^2) / r

* Forenkle og løse for M2:

`` `

m2 =(4 * pi^2 * r^3) / (g * t^2)

`` `

3. tilslut værdierne:

* m2 =(4 * pi^2 * (5,2 * 10^7 m)^3) / (6,674 × 10^-11 m^3 kg^-1 s^-2 * (187200 s)^2)

* m2 ≈ 1,83 × 10^25 kg

resultat

Massen af ​​den ukendte planet er ca. 1,83 × 10^25 kg.