Hvad er forskydningen af ​​et objekt i SHM, når kinetiske og potentielle energier er ens?

forståelse af koncepterne

* Enkel harmonisk bevægelse (SHM): En type periodisk bevægelse, hvor gendannelse af kraft er proportional med forskydningen fra ligevægt. Eksempler inkluderer en masse på en forår eller en pendul, der svinger gennem små vinkler.

* kinetisk energi (KE): Bevægelsesenergien, der er givet af Ke =(1/2) mv², hvor m er masse og V er hastighed.

* potentiel energi (PE): Den energi, der er gemt på grund af et objekts position eller konfiguration. For en fjeder, PE =(1/2) kx², hvor k er fjederkonstanten og x er forskydningen fra ligevægt.

afledning

1. Ligning af energier: Når kinetiske og potentielle energier er ens, har vi:

(1/2) mv² =(1/2) kx²

2. relateret hastighed til forskydning: I SHM er hastigheden (V) ved en forskydning (X) relateret til vinkelfrekvensen (ω) og amplitude (A) af:

v =ω√ (a² - x²)

3. erstatning for hastighed: Udskift dette udtryk for V i energiligningen:

(1/2) m (ω√ (a² - x²)) ² =(1/2) kx²

4. forenkling:

(1/2) MΩ² (a² - x²) =(1/2) kx²

MΩ²A² - MΩ²X² =KX²

5. Løsning til x: Omarranger ligningen for at løse for X:

x² (k + mΩ²) =mω²a²

x² =(mω²a²) / (k + mΩ²)

x =√ ((mω²a²) / (k + mΩ²))

6. ved hjælp af ω² =k/m: Husk, at for et fjedermasse-system i SHM, ω² =k/m. Erstatter dette:

x =√ ((mω²a²) / (k + k))

x =√ ((mω²a²) / (2k))

7. Endelig resultat: Da ω² =k/m, kan vi yderligere forenkle:

x =√ ((m (k / m) a²) / (2k))

x =a/√2

Konklusion

Når de kinetiske og potentielle energier af et objekt i SHM er ens, er forskydningen (x) lig med amplituden (a) divideret med kvadratroten på 2. ord, objektet er ved ca. 70,7% af sin maksimale forskydning fra ligevægt .