Hvor kommer forholdet energi, der er proportional med amplitude kvadrat, kommer fra?

Forholdet "Energi er proportionalt med amplitude -kvadratet" kommer fra den grundlæggende fysik af svingninger, især i sammenhæng med bølger. Lad os nedbryde, hvor dette forhold stammer fra:

1. Simple Harmonic Motion (SHM)

* Definition: SHM er en type periodisk bevægelse, hvor gendannelse af kraft er direkte proportional med forskydningen fra ligevægtspositionen. Eksempler inkluderer en masse på en forår, en pendul, der svinger med små vinkler og mange bølgefænomener.

* Energi i SHM: I SHM er systemets samlede energi (E) summen af ​​dets kinetiske energi (KE) og potentiel energi (PE):

* Ke =1/2 * mv² (hvor m er masse, v er hastighed)

* Pe =1/2 * k * x² (hvor k er fjederkonstanten, x er forskydning)

2. Relateret amplitude og energi

* amplitude (A): Den maksimale forskydning fra ligevægtspositionen.

* maksimal hastighed (V_max): Ved ligevægtspositionen (x =0) er al energi kinetisk, og hastigheden er maksimal. Brug af energibesparelse:

* E =ke_max =1/2 * mv_max²

* relateret V_max til A: Den maksimale hastighed i SHM er relateret til amplitude af:v_max =ωa (hvor ω er vinkelfrekvensen).

* erstatning: Udskiftning af V_max i energiligningen:

* E =1/2 * m * (ωa) ²

* E =1/2 * m * ω² * a²

3. Generaliseringen

* Energi proportional med amplitude kvadrat: Fra ovenstående ligning ser vi, at energien (E) er direkte proportional med kvadratet for amplituden (A²). Dette forhold gælder for forskellige oscillerende systemer, herunder bølger.

4. Anvendelse til bølger

* bølger og amplitude: Bølger er forstyrrelser, der forplantes gennem et medium. Amplituden af ​​en bølge er den maksimale forskydning af mediet fra dens ligevægtsposition.

* Energi i bølger: Den energi, der bæres af en bølge, er relateret til dens amplitude. Energien er proportional med kvadratet på amplituden. Dette skyldes, at energien i bølgen er relateret til den kinetiske energi på partiklerne i mediet, hvilket er proportionalt med kvadratet for deres hastighed, og at hastigheden er relateret til amplituden.

Kortfattet:

Forholdet "Energi er proportionalt med amplitude -kvadratet" stammer fra de grundlæggende principper for energibesparelse og den matematiske beskrivelse af enkel harmonisk bevægelse. Det gælder for forskellige oscillerende systemer, herunder bølger. Dette forhold er afgørende for at forstå energiformeringen og opførsel af bølger i forskellige fysiske systemer.