Hvad er forskydningen af ​​enkel harmonisk, når kinetisk og potentiel energi er ens?

forståelse af koncepterne

* Enkel harmonisk bevægelse (SHM): En type periodisk bevægelse, hvor gendannelse af kraft er proportional med forskydningen fra ligevægt. Eksempler inkluderer en masse på en forår eller en pendul, der svinger med små vinkler.

* kinetisk energi (KE): Bevægelsesenergien, der er givet af Ke =(1/2) mv², hvor m er masse og V er hastighed.

* potentiel energi (PE): Den energi, der er gemt på grund af et objekts position eller konfiguration. I SHM skyldes den potentielle energi ofte en fjeders komprimering eller -forlængelse, og den er givet af PE =(1/2) kx², hvor k er fjederkonstanten og x er forskydningen fra ligevægt.

afledning

1. Lige energier: Vi får det Ke =PE.

2. Erstatningsudtryk: Udskift ligningerne for kinetisk og potentiel energi:

(1/2) mv² =(1/2) kx²

3. Forenkle: Annuller (1/2) udtryk.

4. relaterer hastighed og forskydning: I SHM er hastigheden (V) relateret til forskydningen (x) og vinkelfrekvens (ω) af ligningen:

v =ω√ (a² - x²) hvor a er amplituden af ​​svingningen.

5. Erstatning for hastighed: Udskift hastighedsligningen i energiligningen:

m (ω√ (a² - x²)) ² =kx²

6. Løs for forskydning (x): Forenkle og løse for x:

Mω² (a² - x²) =kx²

mω²a² =(k + mΩ²) x²

x² =(mω²a²)/(k + mΩ²)

x =√ [(mω²a²)/(k + mΩ²)]

7. forholdet mellem ω og k/m: Husk, at vinkelfrekvensen (ω) i SHM er relateret til fjederkonstanten (K) og masse (M) af:

ω =√ (k/m)

8. erstatning for ω: Udskift udtrykket for ω i forskydningsligningen:

x =√ [(m (k/m) a²)/(k + (k/m) m)]

x =√ [(ka²)/(2k)]

x =√ (a²/2)

9. Endelig resultat: Derfor er forskydningen (x) af en simpel harmonisk oscillator, når dens kinetiske og potentielle energier er ens,:

x =a/√2

Fortolkning

Dette resultat viser, at når de kinetiske og potentielle energier er ens i enkel harmonisk bevægelse, er forskydningen lig med amplituden af ​​svingningen divideret med kvadratroten af ​​2. Med andre ord er forskydningen ca. 70,7% af amplituden.