Udled den kinetiske energioperatør til et system med 4 atomer ved hjælp af Jacobi -koordinater?

1. Definer Jacobi -koordinater

For et system med 4 atomer har vi brug for tre sæt Jacobi -koordinater:

* Første sæt:

* $ \ Mathbf {r} _1 =\ Mathbf {r} _2 - \ Mathbf {r} _1 $ (Vector Connecting Atoms 1 og 2)

* $ \ Mathbf {r} _1 =\ frac {M_1 \ Mathbf {r} _1 + m_2 \ Mathbf {r} _2} {m_1 + m_2} $ (messe af masse af atomer 1 og 2)

* andet sæt:

;

;

* Tredje sæt:

;

;

2. Udtrykk den kinetiske energi med hensyn til Jacobi -koordinater

Systemets kinetiske energi er:

`` `

T =(1/2) M_1 V_1^2 + (1/2) M_2 V_2^2 + (1/2) M_3 V_3^2 + (1/2) M_4 V_4^2

`` `

hvor v Repræsenterer hastigheden for hvert atom.

Nu er vi nødt til at udtrykke hastighederne ( v ) Med hensyn til tidsderivaterne for Jacobi -koordinaterne ( r og r ). Dette kan gøres ved hjælp af differentieringsreglen.

For eksempel for atom 1:

`` `

v_1 =d/dt (r_1) =d/dt (r_2 - r_1) =v_2 - v_1

`` `

Tilsvarende kan du udtrykke de andre hastigheder med hensyn til derivaterne for Jacobi -koordinaterne.

3. Erstatte og forenkle

Erstat udtrykkene for hastighederne med hensyn til Jacobi -koordinaterne i den kinetiske energiligning. Efter nogle algebra og forenkling får du:

`` `

T =(1/2) μ_1 (d/dt r_1)^2 + (1/2) μ_2 (d/dt r_2)^2 + (1/2) μ_3 (d/dt r_3)^2 + (1/2) m (d/dt r_3)^2

`` `

hvor:

* μ_1 =(m_1 * m_2) / (m_1 + m_2) er den reducerede masse af atomer 1 og 2

* μ_2 =(m_1 + m_2) * m_3 / (m_1 + m_2 + m_3) er den reducerede masse af masser af masse af atomer 1 og 2 og atom 3

* μ_3 =(m_1 + m_2 + m_3) * m_4 / (m_1 + m_2 + m_3 + m_4) er den reducerede masse af massen af ​​atomer 1, 2 og 3 og atom 4

* m =m_1 + m_2 + m_3 + m_4 er den samlede masse af systemet

4. Express som den kinetiske energioperatør

Den kinetiske energioperatør i kvantemekanik opnås ved at erstatte det klassiske momentum med dets kvantemekaniske ækvivalent:

* p =-Iħ∇

Derfor bliver den kinetiske energioperatør i Jacobi -koordinater:

`` `

T̂ =- (ħ^2 / 2μ_1) ∇_r1^2 - (ħ^2 / 2μ_2) ∇_r2^2 - (ħ^2 / 2μ_3) ∇_r3^2 - (ħ^2 / 2m) ∇_r3^2

`` `

hvor ∇_r1, ∇_r2, ∇_r3 og ∇_r3 er gradientoperatører med hensyn til Jacobi -koordinaterne.

Nøglepunkter:

* Jacobi -koordinaterne adskiller midten af ​​massebevægelse fra de relative bevægelser af atomerne. Dette forenkler beskrivelsen af ​​systemet og reducerer kompleksiteten af ​​beregningerne.

* De reducerede masser vises i den kinetiske energioperatør, hvilket afspejler det faktum, at de relative bevægelser af atomerne påvirkes af masserne af de individuelle atomer.

* Den sidste periode i operatøren repræsenterer den kinetiske energi i massens centrum, som normalt ignoreres i molekylær spektroskopi, da det er en konstant for et givet molekyle.

Fortæl mig, hvis du gerne vil have en mere detaljeret forklaring af ethvert specifikt trin!