Sådan finder du vinklen mellem diagonalerne i en terning

Hvis du skulle tage en firkant og tegne to diagonaler linjer, ville de krydse i midten og danne fire rigtige trekanter. De to diagonaler krydser 90 grader. Du kan intuitivt gætte, at to diagonaler af en terning, der hver kører fra et hjørne af terningen til det modsatte hjørne og krydser i midten, også vil krydse vinkelret. Du ville tage fejl. At bestemme vinklen, hvormed to diagonaler i en terning krydser hinanden er lidt mere komplicerede, end det måske forekommer ved første øjekast, men det gør god praksis for at forstå principperne om geometri og trigonometri.

Definer længden af en kant som en enhed. Ved definition har hver kant på terningen en ensartet længde på en enhed.

Brug Pythagoras sætning til at bestemme længden af ​​en diagonal, der løber fra det ene hjørne til det modsatte hjørne på samme ansigt. Kald dette en "kort diagonal" af hensyn til klarheden. Hver side af den rigtige trekant dannet er en enhed, så diagonalen skal svare til √2.

Brug Pythagoras sætning til at bestemme længden af ​​en diagonal, der løber fra det ene hjørne til det modsatte hjørne af det modsatte overflade . Kald dette en "lang diagonal." Du har en rigtig trekant med en side svarende til 1 enhed og en side svarende til en "kort diagonal" √2 enheder. Hypotenuseets firkant er lig med summen af ​​sidens kvadrater, så hypotenusen skal være √3. Hver diagonal løber fra et hjørne af terningen til det modsatte hjørne er √3 enheder lange.

Tegn et rektangel for at repræsentere to lange diagonaler, der krydser i midten af ​​terningen. Du vil finde vinklen på deres kryds. Dette rektangel vil være 1 enhed højt og √2 enheder bredt. De lange diagonaler skærer hinanden i midten af ​​dette rektangel og danner to forskellige trekantstykker. En af disse trekanter har en side lig med en enhed, og de to andre sider er √3 /2 (en halv længde af en lang diagonal). Den anden har også to sider lig med √3 /2, men den anden side er √2. Du skal kun analysere en af ​​trekanterne, så tag den første og løs for den ukendte vinkel.

Brug den trigonometriske formel c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab cos C for at løse den ukendte vinkel på denne trekant. C = 1, og både a og b er lig med √3 /2. Plugging disse værdier i ligningen, vil du bestemme, at cosinus af din ukendte vinkel er 1/3. At tage den inverse cosinus på 1/3 giver en vinkel på 70,5 grader.