Sådan beregnes en kuglebane

Beregning af kuglens bane fungerer som en nyttig introduktion til nogle nøglekoncepter i klassisk fysik, men det har også en masse muligheder for at inkludere mere komplekse faktorer. På det mest basale niveau fungerer banen til en kugle ligesom banen til ethvert andet projektil. Nøglen adskiller hastighedskomponenterne i (x) og (y) akserne og bruger den konstante acceleration på grund af tyngdekraften til at finde ud af, hvor langt kuglen kan flyve, før den rammer jorden. Du kan dog også inkorporere træk og andre faktorer, hvis du vil have et mere præcist svar.

TL; DR (for lang; ikke læst)

Ignorer vindmodstand for at beregne den tilbagelagte afstand af en kugle ved hjælp af den enkle formel:

x \u003d v _{0x√2h ÷ g}

Hvor (v _{0x) er dens starthastighed, (h) er højden det affyres fra og (g) er accelerationen på grund af tyngdekraften.}

Denne formel indeholder træk:

x \u003d v _{x 0t - CρAv ^{2 t < sup> 2 ÷ 2m}}

Her er (C) kuglens trækkoefficient, (ρ) er lufttætheden, (A) er kuglens område, (t) er flyvetidspunktet og (m) er kuglens masse.
Baggrunden: (x) og (y) Komponenter for hastighed

Det vigtigste punkt, du skal forstå, når du beregner bane, er at hastigheder, kræfter eller en hvilken som helst anden anden "vektor" (som har en retning såvel som en styrke) kan opdeles i "komponenter." Hvis noget bevæger sig i en 45-graders vinkel til det vandrette, skal du tænke på det bevæger sig vandret med en bestemt hastighed og lodret med en bestemt hastighed. Hvis du kombinerer disse to hastigheder og tager deres forskellige retninger i betragtning, får du objektets hastighed, inklusive både hastighed og deres resulterende retning.

Brug cos- og sin-funktionerne til at adskille kræfter eller hastigheder i deres komponenter. Hvis noget bevæger sig med en hastighed på 10 meter per sekund i en 30-graders vinkel i forhold til vandret, er x-komponenten af hastigheden:

v _{x \u003d v cos (θ) \u003d 10 m /s × cos (30 °) \u003d 8,66 m /s}

Hvor (v) er hastigheden (dvs. 10 meter pr. sekund), og du kan placere en hvilken som helst vinkel på stedet for (θ) der passer til dit problem. (Y) -komponenten er givet ved et lignende udtryk:

v _{y \u003d v sin (θ) \u003d 10 m /s × sin (30 °) \u003d 5 m /s}

Disse to komponenter udgør den oprindelige hastighed.
Grundlæggende bane med konstante accelerationsforhold -

Nøglen til de fleste problemer, der involverer bane, er, at projektilet holder op med at bevæge sig fremad, når det rammer gulvet. Hvis kuglen affyres fra 1 meter i luften, når accelerationen på grund af tyngdekraften fjerner den 1 meter, kan den ikke køre længere. Dette betyder, at y-komponenten er den vigtigste ting at overveje.

Ligningen for y-komponentfortrængningen er:

y \u003d v _{0y t - 0.5gt ^{"0" -underskriften betyder starthastighed i (y) retning, (t) betyder tid og (g) betyder acceleration på grund af tyngdekraften, som er 9,8 m /s 2. Vi kan forenkle dette, hvis kuglen fyres perfekt vandret, så den ikke har en hastighed i (y) retning. Dette efterlader:}}

y \u003d -0.5gt ²

I denne ligning betyder (y) forskydningen fra startpositionen, og vi vil vide, hvor lang tid det tager kuglen at falde fra dens starthøjde (h). Med andre ord, vi ønsker

y \u003d −h \u003d -0.5gt ²

Som du arrangerer til:

t \u003d √2h ÷ g

Dette er tidspunktet for flyvning for kuglen. Dets fremhastighed bestemmer afstanden, den bevæger sig, og dette gives ved:

x \u003d v _{0x t}

Hvor hastigheden er den hastighed, den forlader pistolen ved. Dette ignorerer effekten af træk for at forenkle matematikken. Ved hjælp af ligningen for (t) fundet for et øjeblik siden er den tilbagelagte afstand:

x \u003d v _{0x√2h ÷ g}

For en kugle, der skyder i 400 m /s og skudt fra 1 meter højt giver dette:

x_ _
\u003d 400 m /s √ [(2 × 1 m) ÷ 9,8 m /s ^2]

\u003d 400 m /s × 0,452 s \u003d 180,8 m

Så kuglen bevæger sig omkring 181 meter, før den rammer jorden.
Indarbejdelse af træk

For et mere realistisk svar, byg træk ind i ligningerne ovenfor. Dette komplicerer tingene lidt, men du kan beregne det let nok, hvis du finder de nødvendige informationsbits om din kugle og temperaturen og trykket, hvor den fyres. Ligningen for den kraft, der skyldes træk, er:

F _{drag \u003d −CρAv ^{2 ÷ 2}}

Her (C) repræsenterer kugleens trækkoefficient (du kan finde ud af en bestemt kugle, eller brug C \u003d 0,295 som en generel figur), ρ er lufttætheden (ca. 1,2 kg /kubikmeter ved normalt tryk og temperatur), (A) er tværsnitsområdet for en kugle ( du kan regne ud dette til en bestemt kugle eller bare bruge A \u003d 4,8 × 10 ^{−5 m 2, værdien for en .308 kaliber) og (v) er kuglens hastighed. Endelig bruger du massen af kuglen til at omdanne denne kraft til en acceleration, der skal bruges i ligningen, som kan tages som m \u003d 0,016 kg, medmindre du har en bestemt kugle i tankerne.}

Dette giver en mere kompliceret udtryk for tilbagelagt afstand i (x) retning:

x \u003d v _{x 0t - C ρAv ^{2 t 2 ÷ 2m}}

Dette er kompliceret, fordi trækningen teknisk reducerer hastigheden, hvilket igen reducerer trækningen, men du kan forenkle tingene ved blot at beregne trækket baseret på den oprindelige hastighed på 400 m /s. Ved hjælp af en flyvetid på 0,452 s (som før) giver dette:

x_ _
\u003d 400 m /s × 0,452 s - [0,295 × 1,2 kg /m ^{3 × (4,8 × 10 −5 m 2) × 400 2 m 2 /s 2 × 0,452 2 s 2] ÷ 2 × 0,016 kg}

\u003d 180,8 m - (0,555 kg m ÷ 0,032 kg)

\u003d 180,8 m - 17,3 m \u003d 163,5 m

Så tilføjelsen af træk ændrer estimatet med ca. 17 meter .