Sådan bruges enhedscirklen i trigonometri

En enhedscirkel definerer retvinklede trekantforhold kendt som sinus, cosinus og tangens. Disse relationer beskriver, hvordan vinkler og sider af retvinklede trekanter forholder sig til hinanden.

Lad os for eksempel sige, at vi har en retvinklet trekant med en vinkel på 30 grader, og hvis længste side, eller hypotenusen, er en længde på 7. Vi kan bruge vores foruddefinerede retvinklede trekant-forhold til at finde ud af sidelængderne af trekantens resterende to sider.

Denne gren af ​​matematik, kendt som trigonometri, har daglige praktiske anvendelser såsom konstruktion, GPS, VVS, videospil, teknik, tømrerarbejde og flynavigation.

For at huske en standardenhedscirkel skal vi være i stand til at genkalde tre hovedkomponenter:

1. Fire kvadranter
2. 16 vinkler
3. (x, y) koordinater for hver af de 16 vinkler, hvor radius rører cirklens omkreds

For at hjælpe os vil vi huske en tur til Unit Pizza Palace. Brug et øjeblik på at huske følgende, indtil du kan recitere det uden at kigge:

• 4 pizzaskiver
• 3 tærter til $6
• 2 firkantede borde
• 1 , 2, 3

Trin 1:4 pizzaskiver

Forestil dig en hel pizza, skåret i fire lige skiver. I matematik vil vi kalde disse fire dele af cirklen kvadranter.

Vi kan bruge (x, y) koordinater til at beskrive ethvert punkt langs den yderste kant af cirklen. X-værdien eller x-koordinaten repræsenterer afstanden tilbagelagt til venstre eller højre fra midten, mens y-værdien eller y-koordinaten repræsenterer den tilbagelagte afstand op eller ned.

X-koordinaten er cosinus af vinklen dannet af punktet, origo og x-aksen. Y-koordinaten svarer til den nøjagtige værdi af sinusfunktionen for denne vinkel.

I en enhedscirkel vil en ret linje, der går lige fra centrum af cirklen, nå cirklens kant ved koordinaten (1, 0). Her er koordinaterne, hvis linjen gik i de andre retninger:

• Venstre :(-1, 0)
• Op :(0, 1)
• Ned :(0, -1)

De fire tilknyttede vinkler (i radianer, ikke grader) har alle en nævner på 2. (En radian er den vinkel, man laver, når man tager radius og vikler den rundt om en cirkel. En grad måler vinkler efter tilbagelagt afstand. En cirkel er 360 grader eller 2π radianer).

Tællerne starter ved 0, begynder ved koordinaten (1,0), og tæller op mod uret med 1π. Denne proces vil give 0π/2, 1π/2, 2π/2 og 3π/2. Forenkle disse brøker for at få 0, π/2, π og 3π/2.

Trin 2:3 tærter til $6

Start med "3 tærter." Tag et kig på y-aksen. Radianvinklerne direkte til højre og venstre for y-aksen har alle en nævner på 3. Hver resterende vinkel har en tæller, der inkluderer den matematiske værdi pi, skrevet som π.

"3 tærter for 6" bruges til at genkalde de resterende 12 vinkler i en standard enhedscirkel med tre vinkler i hver kvadrant. Hver af disse vinkler er skrevet som en brøk.

"For $6" er for at minde os om, at i hver kvadrant er de resterende nævnere 4 og derefter 6.

Den sværeste del af dette trin er at udfylde tælleren for hver brøk.

I kvadrant 2 (øverste venstre fjerdedel af cirklen), sæt 2, derefter 3 og derefter 5 foran π.

Din første vinkel i kvadrant 2 vil være 2π/3. Dette beregnes nemt ved at lægge 2'erne i tælleren sammen og 3'erne i nævneren, hvilket er lig med 5.

Se på vinklen lige over i kvadrant 4 (nederste højre fjerdedel af cirklen). Placer denne 5 i tælleren foran π. Gentag denne proces for de to andre vinkler i kvadrant 2 og 4.

Vi gentager den samme proces for kvadranter 1 (øverst til højre) og 3 (nederst til venstre). Husk, ligesom x er det samme som 1x, er π det samme som 1π. Så vi tilføjer 1 til alle nævnerne i kvadrant 1.

Processen til at angive vinkler i grader (i stedet for radianer) er beskrevet i slutningen af ​​denne artikel.

Trin 3:2 kvadratiske borde

"2" i "2 kvadratiske tabeller" er for at minde os om, at alle de resterende 12 koordinatpar har en nævner på 2.

"Kvadrat" er for at minde os om, at tælleren for hver koordinat inkluderer en kvadratrod. Vi starter kun med kvadrant 1 for at forenkle tingene. (Tip:Husk, at kvadratroden af ​​1 er 1, så disse brøker kan forenkles til kun 1/2.)

Trin 4:1, 2, 3

"1, 2, 3" viser os rækkefølgen af ​​tal under hver kvadratrod. For kvadrant 1's x-koordinater tæller vi fra 1 til 3, starter ved den øverste koordinat og går ned.

Y-koordinaterne har de samme tællere, men tæller fra 1 til 3 i den modsatte retning, fra bunden til toppen.

Kvadrant 2 har de samme koordinater som kvadrant 1, men x-koordinaterne er negative.

Kvadrant 3 skifter x- og y-koordinaterne fra kvadrant 1. Alle x- og y-koordinaterne er også negative.

Ligesom kvadrant 3 skifter kvadrant 4 også x- og y-koordinaterne fra kvadrant 1. Men kun y-koordinaterne er negative.

Vinkler i grader

Du vil måske referere vinkler efter grader i stedet for radianer. For at gøre det, start ved 0 grader ved koordinat (1,0). Derfra tilføjer vi 30, 15, 15 og derefter 30. I kvadrant 1 tilføjer vi 30 til 0 for at få 30, tilføjer 15 til 30 for at få 45, tilføjer 15 til 45 for at få 60, ​​og tilføjer 30 til 60 for at få 90.

Vi gentager derefter processen for de resterende kvadranter og tilføjer 30, 15, 15 og 30, indtil vi når slutningen af ​​cirklen. Så kvadrant 4 vil have vinkler fra 270 til 330 grader (se figur 10).

Brug af enhedscirklen i praksis

Husk, enhedscirklen kan bruges til at finde to ukendte sider af en retvinklet trekant med en 30-graders vinkel, og hvis længste side, eller hypotenusen, er en længde på 7. Lad os prøve det.

Læg mærke til, hvor 30° er på enhedscirklen. Brug den linje og x-aksen til at skabe en trekant som følger.

I en enhedscirkel vil enhver linje, der starter i midten af ​​cirklen og slutter ved dens omkreds, have en længde på 1. Så den længste side af denne trekant vil have en længde på 1. Den længste side af en retvinklet trekant er også kendt som hypotenusen. Punktet, hvor hypotenusen rører cirklens omkreds, er ved √3/2, 1/2.

Så vi ved, at trekantens basis (på x-aksen) har en længde på √3/2 og trekantens højde er 1/2.

En anden måde at tænke det på er, at basen er √3/2 gange hypotenusens længde, og højden er 1/2 gange hypotenusens længde.

Så hvis hypotenusen i stedet er en længde på 7, vil vores trekantbase være 7 x √3/2 =7√3/2.

Trekanten vil have en højde på 7 x 1/2 =7/2.

Denne artikel blev opdateret i forbindelse med AI-teknologi, og derefter faktatjekket og redigeret af en HowStuffWorks-redaktør.

Nu er det interessant

Trigonometri menes oprindeligt at være udviklet i det 1. århundrede f.v.t. at forstå astronomi, studiet af stjerner og solsystemet. Det bruges stadig i rumudforskning af folk som NASA og private rumtransportvirksomheder.

Ofte besvarede spørgsmål

Hvad er 2π i enhedscirklen?

2π er lig med en komplet omdrejning omkring enhedscirklen eller 360°.

Hvad er trig-funktionerne, og hvordan hænger de sammen med enhedscirklen?

De primære trigfunktioner er sinus, cosinus og tangens. På enhedscirklen svarer sinus til y-værdien og cosinus til x-værdien af ​​punkter. Enhedscirklen giver en geometrisk repræsentation af disse funktioner som forhold mellem siderne af retvinklede trekanter.