Tyngdepotentialenergi: Definition, formel, enheder (uden eksempler)

De fleste mennesker ved om energibesparelse. Kort sagt, det siger, at energi bevares; det er ikke oprettet, og det er ikke ødelagt, og det skifter simpelthen fra en form til en anden.

Så hvis du holder en bold helt stille, to meter over jorden, og derefter frigiver den, hvor gør den energi, den får, kommer fra? Hvordan kan noget stadig stadig få så meget kinetisk energi, før det rammer jorden?

Svaret er, at den stille kugle besidder en form for lagret energi kaldet gravitationspotentiel energi
eller GPE kort . Dette er en af de vigtigste former for lagret energi, som en gymnasiestudent vil støde på i fysik.

GPE er en form for mekanisk energi forårsaget af objektets højde over jordoverfladen (eller faktisk, enhver anden kilde til et tyngdefelt). Ethvert objekt, der ikke er på det laveste energipunkt i et sådant system har en vis gravitationspotentialenergi, og hvis den frigøres (dvs. tilladt at falde frit), vil den accelerere mod midten af tyngdefeltet, indtil noget stopper det.

Selvom processen med at finde et objekts gravitationspotentielle energi er ret ligetil matematisk, er konceptet ekstraordinær nyttigt, når det gælder beregning af andre mængder. For eksempel gør det at lære om GPE-konceptet det virkelig let at beregne den kinetiske energi og den endelige hastighed af et faldende objekt.
Definition af gravitationspotentialenergi

GPE afhænger af to nøglefaktorer: objektets position i forhold til et gravitationsfelt og objektets masse. Kropets massecentrum, der skaber tyngdefeltet (på Jorden, planetens centrum) er det laveste energipunkt i feltet (selvom i praksis stopper det faktiske legeme faldet før dette punkt, som Jordens overflade gør ), og jo længere et objekt er fra dette punkt, jo mere lagret energi har den på grund af dens position. Mængden af lagret energi øges også, hvis genstanden er mere massiv.

Du kan forstå den grundlæggende definition af tyngdepotentialenergi, hvis du tænker på en bog, der hviler på toppen af en boghylde. Bogen har potentialet til at falde på gulvet på grund af sin hævede position i forhold til jorden, men en der starter på gulvet kan ikke falde, fordi den allerede er på overfladen: Bogen på hylden har GPE, men en på jorden gør ikke det.

Intuition vil også fortælle dig, at en bog, der er dobbelt så tyk, vil gøre dobbelt så stor en smule, når den rammer jorden; Dette skyldes, at objektets masse er direkte proportional med mængden af gravitationspotentialenergi, som et objekt har.
GPE Formel

Formlen for gravitationspotentialenergi (GPE) er virkelig enkel, og den relaterer masse m
, accelerationen på grund af tyngdekraft på jorden g
) og højde over jordoverfladen h
til den lagrede energi på grund af tyngdekraften:
GPE \u003d mgh

Som det er almindeligt i fysik, er der mange potentielle forskellige symboler for gravitationspotentialenergi, herunder U
_{g, PE
grav og andre. GPE er et mål på energi, så resultatet af denne beregning vil være en værdi i joules (J).}

Accelerationen på grund af Jordens tyngdekraft har en (nogenlunde) konstant værdi hvor som helst på overfladen og peger direkte på planetens masse centrum: g \u003d 9,81 m /s ^{2. I betragtning af denne konstante værdi er de eneste ting, du har brug for for at beregne GPE, objektets masse og objektets højde over overfladen.
GPE Beregningseksempler}

Så hvad gør du, hvis du har brug for beregne, hvor meget tyngdepotentialenergi et objekt har? I bund og grund kan du simpelthen definere objektets højde baseret på et simpelt referencepunkt (jorden fungerer normalt fint) og multiplicere dette med dens masse m
og den jordbaserede gravitationskonstant g
for at finde GPE.

Forestil dig for eksempel en 10 kg masse, der er ophængt en højde af 5 meter over jorden ved hjælp af et remskive. Hvor meget tyngdepotentialenergi har den?

Brug af ligningen og erstatning af de kendte værdier giver:
\\ begin {align} GPE & \u003d mgh \\\\ & \u003d 10 \\; \\ tekst {kg} × 9,81 \\; \\ tekst {m /s} ^ 2 × 5 \\; \\ tekst {m} \\\\ & \u003d 490.5 \\; \\ tekst {J} \\ ende {justeret}

Men hvis du har tænkt på koncept, mens du læser denne artikel, har du måske overvejet et interessant spørgsmål: Hvis gravitationspotentialenergien for et objekt på Jorden kun virkelig er nul, hvis det er i centrum af massen (dvs. inde i Jordens kerne), hvorfor beregner du det som om jordoverfladen er h
\u003d 0?

Sandheden er, at valget af "nul" -punkt for højde er vilkårligt, og det er normalt gjort for at forenkle problemet ved hånd. Hver gang du beregner GPE, er du virkelig mere bekymret over gravitationspotentialenergi ændringer
snarere end nogen form for absolut mål for den lagrede energi.

Det betyder ikke meget, om du beslutter at kalde en bordplade h
\u003d 0 snarere end jordoverfladen, fordi du altid faktisk taler om ændringer i potentiel energi relateret til ændringer i højden.

Overvej , så løfter nogen en 1,5 kg fysikbog fra overfladen på et skrivebord og løfter den 50 cm (dvs. 0,5 m) over overfladen. Hvad er den tyngdepotentiale energiændring (betegnet ∆ GPE
) for bogen, når den løftes?

Tricket er naturligvis at kalde bordet referencepunktet med en højde af h
\u003d 0, eller ækvivalent, for at overveje ændringen i højden (∆ h
) fra den oprindelige position. I begge tilfælde får du:
\\ begynde {justeret} ∆GPE & \u003d mg∆h \\\\ & \u003d 1.5 \\; \\ tekst {kg} × 9,81 \\; \\ tekst {m /s} ^ 2 × 0,5 \\ ; \\ text {m} \\\\ & \u003d 7.36 \\; \\ text {J} \\ ende {rettet} Sæt “G” i GPE

Den nøjagtige værdi for gravitationsacceleration g
i GPE-ligningen har en stor indflydelse på gravitationspotentialenergien af et objekt, der løftes en vis afstand over en kilde til et gravitationsfelt. På overfladen af Mars er for eksempel værdien af g
omkring tre gange mindre end på jordoverfladen, så hvis du løfter det samme objekt den samme afstand fra Marsoverfladen, ville det har cirka tre gange mindre lagret energi end det ville på Jorden.

Tilsvarende, selvom du kan tilnærme værdien af g
som 9,81 m /s ^{2 på tværs af jordoverfladen ved havet niveau, er det faktisk mindre, hvis du bevæger dig en betydelig afstand væk fra overfladen. For eksempel, hvis du var på en Mt. Everest, der stiger op 8.848 m (8.848 km) over jordoverfladen, hvis det var så langt væk fra planetens masse centrum ville reducere værdien af g
lidt, så du ville have g
\u003d 9,79 m /s 2 på toppen.}

Hvis du med succes havde besteget bjerget og løftet en 2 kg masse 2 m fra bjergtoppen i luften, hvad ville være ændringen i GPE?

Som at beregne GPE på en anden planet med en anden værdi på g
, indtaster du blot værdien for g
der passer til situationen og gå gennem den samme proces som ovenfor:
\\ begynde {justert} ∆GPE & \u003d mg∆h \\\\ & \u003d 2 \\; \\ tekst {kg} × 9,79 \\; \\ tekst {m /s} ^ 2 × 2 \\ ; \\ text {m} \\\\ & \u003d 39.16 \\; \\ text {J} \\ ende {rettet}

Ved havoverfladen på Jorden, med g
\u003d 9,81 m /s ^{2, løft af den samme masse ville ændre GPE ved:
\\ begynde {justeret} ∆GPE & \u003d mg∆h \\\\ & \u003d 2 \\; \\ tekst {kg} × 9,81 \\; \\ tekst {m /s} ^ 2 × 2 \\; \\ tekst {m} \\\\ & \u003d 39.24 \\; \\ tekst {J} \\ ende {rettet}}

Dette er ikke en enorm forskel, men det er klart viser, at højden påvirker ændringen i GPE, når du udfører den samme løftebevægelse. Og på Mars's overflade, hvor g
\u003d 3,75 m /s ^{2 ville det være:
\\ begynde {justert} ∆GPE & \u003d mg∆h \\\\ & \u003d 2 \\; \\ tekst {kg} × 3,75 \\; \\ tekst {m /s} ^ 2 × 2 \\; \\ tekst {m} \\\\ & \u003d 15 \\; \\ tekst {J} \\ ende {justeret}}

Som du kan se, værdien af g
er meget vigtig for det resultat, du får. Ved at udføre den samme løftebevægelse i det dybe rum, langt væk fra nogen indflydelse fra tyngdekraften, ville der i det væsentlige ikke være nogen ændring i gravitationspotentialenergi. bruges sammen med begrebet GPE for at forenkle mange og mange beregninger i fysik. Kort sagt, under påvirkning af en "konservativ" kraft, bevares den samlede energi (inklusive kinetisk energi, gravitationspotentialenergi og alle andre former for energi).

En konservativ kraft er en, hvor mængden af arbejde, der udføres mod kraften til at flytte et objekt mellem to punkter afhænger ikke af den valgte sti. Så tyngdekraften er konservativ, fordi løft af et objekt fra et referencepunkt til en højde h og ændrer gravitationspotentialenergien med mgh
, men det gør ikke en forskel, om du flytter den i en S-formet sti eller en lige linje - det ændres altid bare ved mgh
.

Forestil dig nu en situation, hvor du taber en 500 g (0,5 kg) kugle fra en højde på 15 meter. Ignorerer effekten af luftmodstand og antager, at den ikke roterer under dens fald, hvor meget kinetisk energi har kuglen lige i øjeblikket, før den kommer i kontakt med jorden?

Nøglen til dette problem er det faktum, at den samlede energi bevares, så al den kinetiske energi kommer fra GPE, og så den kinetiske energi E
_{k ved dens maksimale værdi skal svare til GPE ved dens maksimale værdi, eller GPE
\u003d E
k. Så du kan løse problemet let:
\\ begynde {justeret} E_k & \u003d GPE \\\\ & \u003d mgh \\\\ & \u003d 0.5 \\; \\ text {kg} × 9,81 \\; \\ text {m /s} ^ 2 × 15 \\; \\ text {m} \\\\ & \u003d 73.58 \\; \\ tekst {J} \\ end {alignet} Find den endelige hastighed ved hjælp af GPE og energibesparelse}

Energibesparelse forenkler mange andre beregninger, der involverer tyngdekraft potentiel energi, også. Tænk på bolden fra det forrige eksempel: nu hvor du kender den samlede kinetiske energi baseret på dens tyngdepotentiale energi på sit højeste punkt, hvad er kuglens endelige hastighed lige nu, inden den rammer jordoverfladen? Du kan beregne dette baseret på standardligningen for kinetisk energi:
E_k \u003d \\ frac {1} {2} mv ^ 2

Med værdien af E
_{k kendt, du kan arrangere ligningen igen og løse for hastigheden v
:
\\ begynde {justeret} v & \u003d \\ sqrt {\\ frac {2E_k} {m}} \\\\ & \u003d \\ sqrt {\\ frac {2 × 73.575 \\; \\ text {J}} {0.5 \\; \\ text {kg}}} \\\\ & \u003d 17.16 \\; \\ text {m /s} \\ end {alignet}}

Du kan dog Brug energibesparelse til at udlede en ligning, der gælder for ethvert faldende objekt, ved først at bemærke, at i situationer som dette, -∆ GPE
\u003d ∆ E
< sub> k, og så:
mgh \u003d \\ frac {1} {2} mv ^ 2

Annullering af m
fra begge sider og omarrangering giver:
gh \u003d \\ frac {1} {2} v ^ 2 \\\\ \\ text {Derfor} \\; v \u003d \\ sqrt {2gh}

Bemærk, at denne ligning viser, at masse, når man ignorerer luftmodstand, ikke påvirker den endelige hastighed v
, så hvis du taber to objekter fra samme højde, rammer de jorden på nøjagtigt samme tid og falder med samme hastighed. Du kan også kontrollere det opnåede resultat ved hjælp af den enklere totrinsmetode og vise, at denne nye ligning faktisk giver det samme resultat med de rigtige enheder.
Afledning af ekstra-jordiske værdier af g Brug af GPE

Endelig giver den forrige ligning dig også en måde at beregne g
på andre planeter. Forestil dig, at du faldt kuglen på 0,5 kg fra 10 m over Mars's overflade og registrerede en endelig hastighed (lige inden den ramte overfladen) på 8,66 m /s. Hvad er værdien af g
på Mars?

Fra et tidligere trin i omarrangementet:
gh \u003d \\ frac {1} {2} v ^ 2

Du ser det:
\\ begynde {justeret} g & \u003d \\ frac {v ^ 2} {2h} \\\\ & \u003d \\ frac {(8.66 \\; \\ text {m /s}) ^ 2} {2 × 10 \\; \\ tekst {m}} \\\\ & \u003d 3,75 \\; \\ tekst {m /s} ^ 2 \\ ende {justeret}

Energibesparelse i kombination med ligningerne for gravitationspotentialenergi og kinetisk energi, har mange
anvendelser, og når du bliver vant til at udnytte forholdene, vil du være i stand til at løse en enorm række klassiske fysiske problemer med lethed.