Elektrisk ladning er ensartet fordelt på overfladen af ​​en sfærisk ballon. Vis hvordan elektrisk intensitet og potentiale varierer (a) (b) inde (c) udenfor?

(a) Elektrisk intensitet E uden for ballonen (r> R)

Ved hjælp af Gauss lov kan vi bestemme den elektriske intensitet E i en afstand r fra ballonens centrum. Vi betragter en sfærisk gaussisk overflade med radius r, koncentrisk med ballonen. Det elektriske felt er overalt vinkelret på overfladen, og dets størrelse er konstant på overfladen. Derfor er den elektriske flux gennem overfladen givet af:

∮_S \(\overhøjrepil E\cdot d\overhøjrepil A\)=E⋅4πr^2

Den samlede ladning omsluttet af overfladen er q. Derfor har vi ifølge Gauss lov:

∮_S \(\overrightarrow E\cdot d\overrightarrow A\)=\frac{q_{in}}{\varepsilon_0}

hvor ε₀ er permittiviteten af ​​ledigt rum. Ved at kombinere ovenstående ligninger får vi:

$$E⋅4πr^2=\frac{q}{\varepsilon_0}$$

$$E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}$$

Dette er udtrykket for den elektriske intensitet uden for ballonen. Det varierer omvendt med kvadratet på afstanden fra ballonens centrum.

(b) Elektrisk intensitet E inde i ballonen (r

Inde i ballonen er det elektriske felt nul. Det skyldes, at det elektriske felt skyldes ladningerne på ballonens overflade, og der er ingen ladninger inde i ballonen.

(c) Elektrisk potentiale V uden for ballonen (r> R)

Det elektriske potentiale V i en afstand r fra midten af ​​ballonen er givet ved:

$$V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{dq}{r}$$

Da ladningen er ensartet fordelt på ballonens overflade, kan vi skrive dq =σ⋅dA, hvor σ er overfladeladningstætheden og dA er et arealelement på overfladen. Den samlede ladning på ballonen er q =σ⋅4πR², hvor R er ballonens radius. Hvis vi erstatter disse i ligningen for V, får vi:

$$V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_S \frac{\sigma dA}{r}$$

$$V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\sigma}{r}⋅\int_S dA$$

$$V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\sigma}{r}⋅4πR²$$

$$V=\frac{\sigma R}{\varepsilon_0}\frac{1}{r}$$

Dette er udtrykket for det elektriske potentiale uden for ballonen. Det varierer omvendt med afstanden fra midten af ​​ballonen.

(d) Elektrisk potentiale V inde i ballonen (r

Inde i ballonen er det elektriske potentiale konstant og er givet ved:

$$V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_0^R \frac{\sigma dA}{r}$$

$$V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\sigma}{r}⋅4πr²$$

$$V=\frac{\sigma R}{\varepsilon_0}$$

Dette er udtrykket for det elektriske potentiale inde i ballonen. Den er konstant og afhænger ikke af afstanden fra ballonens centrum.