Standing Wave: definition, formel og eksempler

En stående bølge
er en stationær bølge, hvis pulser ikke bevæger sig i den ene eller den anden retning. Det er typisk resultatet af superpositionen af en bølge, der bevæger sig i en retning med dens reflektion, der bevæger sig i den modsatte retning.
Kombination af bølger

At vide, hvad kombinationen af bølger vil gøre til et givet punkt i en medium på et givet tidspunkt, tilføjer du blot, hvad de ville gøre uafhængigt. Dette kaldes princippet om superposition
.

Hvis du f.eks. Skulle plotte de to bølger på den samme graf, ville du blot tilføje deres individuelle amplituder på hvert punkt for at bestemme det resulterende bølge. Nogle gange vil den resulterende amplitude have en større kombineret styrke på det tidspunkt, og nogle gange vil bølgenes virkninger delvist eller fuldstændigt annullere hinanden.

Hvis begge bølger er i fase, hvilket betyder, at deres toppe og dale stiller perfekt op , de kombineres for at lave en enkelt bølge med en maksimal amplitude. Dette kaldes konstruktiv interferens
.

Hvis de enkelte bølger er nøjagtigt ude af fase, hvilket betyder, at toppen af den ene er perfekt i linje med den anden dal, annullerer de hinanden, skaber nul amplitude. Dette kaldes destruktiv interferens
.
Stående bølger på en streng

Hvis du fastgør den ene ende af en streng til et stift objekt og ryster den anden ende op og ned, sender du bølge pulser ned ad strengen, der derefter reflekteres ved slutningen og bevæger sig tilbage, og interfererer med strømmen af pulser i modsatte retninger. Der er visse frekvenser, som du kan ryste på strengen, der producerer en stående bølge.

En stående bølge dannes som et resultat af, at bølgepulserne bevæger sig til højre med jævne mellemrum konstruktivt og destruktivt forstyrrer bølgepulserne, der bevæger til venstre.

Knudepunkter
på en stående bølge er punkter, hvor bølgerne altid ødelægger destruktivt. Antinoder
på en stående bølge er punkter, der svinger mellem perfekt konstruktiv interferens og perfekt destruktiv interferens.

For at der kan dannes en stående bølge på en sådan streng, skal strengens længde være en halvtalsmultipel af bølgelængden. Det stående bølgemønster med laveste frekvens har en enkelt "mandel" -form i strengen. Toppen af "mandel" er antinoden, og enderne er knudepunkter.

Den frekvens, hvorpå denne første stående bølge, med to knudepunkter og en antinode, opnås kaldes grundlæggende frekvens
eller den første harmoniske
. Bølgelængden af den bølge, der producerer den grundlæggende stående bølge, er λ \u003d 2L
, hvor L
er længden af strengen.
Higher Harmonics for Standing Waves on a String

Hver frekvens, hvormed strengdriveren svinger, der producerer en stående bølge ud over den grundlæggende frekvens, kaldes en harmonisk. Den anden harmonisk producerer to antinoder, den tredje harmonisk producerer tre antinoder og så videre.

Frekvensen af den niende harmoniske vedrører den grundlæggende frekvens via f _{n \u003d nf 1
.}

Bølgelængden for den niende harmoniske er λ \u003d 2L /n
hvor L
er længden på strengen.
Wave Speed

Hastigheden af de bølger, der producerer den stående bølge, kan findes som et produkt af frekvens og bølgelængde. For alle harmonikker er denne værdi den samme: v \u003d f _{nλ n \u003d nf 1 × 2L /n \u003d 2Lf 1
.}

For en bestemt streng kan denne bølgehastighed også forudbestemmes med hensyn til strengenes og massetætheden som:
v \u003d \\ sqrt {\\ frac {F_T} {\\ mu}}

F _{T
er spændingskraften, og μ
er massen pr. Enheds længde på strengen.
Eksempler}

Eksempel 1: En streng med længde 2 m og lineær massetæthed 7,0 g /m holdes ved spænding 3 N. Hvad er den grundlæggende frekvens, hvormed en stående bølge frembringes? Hvad er den tilsvarende bølgelængde?

Løsning: Først skal vi bestemme bølgehastigheden ud fra massetætheden og spænding:
v \u003d \\ sqrt {\\ frac {3} {. 007}} \u003d 20.7 \\ text {m /s}

Brug det faktum, at den første stående bølge opstår, når bølgelængden er 2_L_ \u003d 2 × (2 m) \u003d 4 m, og forholdet mellem bølgehastighed, bølgelængde og frekvens for at finde den grundlæggende frekvens:
v \u003d \\ lambda f_1 \\ implicerer f_1 \u003d \\ frac {v} {\\ lambda} \u003d \\ frac {20.7} {4} \u003d 5.2 \\ text {Hz}

Den anden harmoniske f _{2
\u003d 2 × f 1
\u003d 2 × 5.2 \u003d 10,4 Hz, hvilket svarer til en bølgelængde på 2_L_ /2 \u003d 2 m.}

Den tredje harmoniske f _{3
\u003d 3 × f 1
\u003d 3 × 5.2 \u003d 10,4 Hz, hvilket svarer til en bølgelængde på 2_L_ /3 \u003d 4/3 \u003d 1,33 m}

Og så videre.

Eksempel 2: Ligesom stående bølger på en streng er det muligt at fremstille en stående bølge i et hult rør ved hjælp af lyd. Med bølgerne på en streng havde vi knuder i enderne og derefter yderligere knudepunkter langs strengen, afhængigt af hyppigheden. Når der imidlertid oprettes en stående bølge ved at have en eller begge ender af strengen fri til at bevæge sig, er det muligt at skabe stående bølger, hvor den ene eller begge ender er antinoder.

Tilsvarende med en stående lydbølge i et rør, hvis røret er lukket i den ene ende og åbent i den anden, vil bølgen have en knude i den ene ende og en antinode på den åbne ende, og hvis røret er åbent i begge ender, vil bølgen have antinoder på begge ender af røret.

For eksempel bruger en studerende et rør med en åben ende og en lukket ende til at måle lydens hastighed ved at se efter lydresonans (en stigning i lydstyrken, der indikerer tilstedeværelsen af lyden en stående bølge) til en 540-Hz indstillingsgaffel.

Røret er designet, så den lukkede ende er en prop, der kan glides op eller ned i røret for at justere den effektive længde på røret.

Studenten begynder med rørlængden næsten 0, rammer indstillingsgaffelen og holder den nær den åbne ende af røret. Studenten glider derefter langsomt stopperen, hvilket får den effektive rørlængde til at stige, indtil eleven hører lydstigningen markant i lydstyrke, hvilket indikerer resonans og oprettelsen af en stående lydbølge i røret. Denne første resonans opstår, når rørlængden er 16,2 cm.

Ved hjælp af den samme indstillingsgaffel øger eleven længden på røret, indtil hun hører en anden resonans i en rørlængde på 48,1 cm. Studenten gør dette igen og får en tredje resonans i rørlængden 81,0 cm.

Brug den studerendes data til at bestemme lydhastigheden.

Løsning: Den første resonans sker ved første mulige stående bølge. Denne bølge har en knude og en antinode, hvilket gør længden af røret \u003d 1 /4λ. Så 1 /4λ \u003d 0,162 m eller λ \u003d 0,648 m.

Anden resonans sker ved den næste mulige stående bølge. Denne bølge har to knuder og to antinoder, hvilket gør længden af røret \u003d 3 /4λ. Så 3 /4λ \u003d 0,481 m eller λ \u003d 0,641 m.

Tredje resonans sker ved den tredje mulige stående bølge. Denne bølge har tre noder og tre antinoder, hvilket gør længden af røret \u003d 5 /4λ. Så 5 /4λ \u003d 0,810 m eller λ \u003d 0,648 m.

Den gennemsnitlige eksperimentelt bestemte værdi af λ er derefter \u003d (0,648 + 0,641 + 0,648) /3 \u003d 0,6457 m.

Det eksperimentelle bestemt lydhastighed \u003d bølgehastighed \u003d λf \u003d 0,6457 × 540 \u003d 348,7 m /s.