Et termometer tages fra et rum, hvor temperaturen 20C til udendørs 5C Efter et minut viser 12C Hvornår vil der læses 6C?

Da temperaturen falder, kan vi skrive differentialligningen:

$$\begin{align}\frac{dT}{dt} =k(T-5) \end{align}$$

hvor k er en positiv konstant.

Ved at adskille variable og integrere får vi:

$$\begin{align} \frac{1}{T-5}dT =kdt\end{align}$$

$$\ln |T-5|=kt+C_1$$

$$T-5=Ce^{kt} $$

$$T=Ce^{kt}+5 $$

Ved at bruge startbetingelsen \(T(0)=20\), finder vi, at \(C=15\)

Derfor er løsningen til differentialligningen (1).

$$T(t)=15e^{kt}+5$$

Ved at bruge den anden givne betingelse \(T(1)=12\), finder vi det

$$12=15e^k+5$$

$$e^k=\frac{7}{10} \derfor $$

$$k=\ln\frac{7}{10} $$

Løsningen til differentialligningen (1) bliver således:

$$\boxed{T(t)=15 e^{\left ( \ln \frac{7}{10} \right ) t} +5 }$$

Indstilling \(T=6\), får vi endelig

$$6=15e^{(\ln \frac{7}{10})t}+5$$

$$1=15e^{(\ln \frac{7}{10})t}$$

$$\frac{1}{15}=e^{(\ln \frac{7}{10})t}$$

$$(\frac{1}{15})^{\frac{1}{\ln \frac{7}{10}}} =t $$

$$t=\frac{\ln{\frac{1}{15}}}{\ln \frac{7}{10}}$$

$$t=\frac{\ln 1-\ln15}{ \ln7-\ln 10} \ca. 1,23\text{ minutter}$$

Derfor vil det tage cirka 1,23 minutter for termometeret at vise C.