Hvad er kriminaliteten af ​​DOT i klassisk mekanik?

Du henviser sandsynligvis til annullering af en prik I forbindelse med Lagrangian mekanik I klassisk mekanik. Dette henviser til en bestemt matematisk operation, der bruges til at forenkle afledningen af ​​bevægelsesligninger.

Her er en sammenbrud:

1. Lagrangian Mechanics

Lagrangian Mechanics er en stærk ramme for at beskrive systemets bevægelse. Den bruger en funktion kaldet Lagrangian , som er en funktion af systemets generaliserede koordinater (positioner) og generaliserede hastigheder (tidsderivater af positioner). Lagrangian defineres som forskellen mellem systemets kinetiske og potentielle energi:

L =t - v

2. Euler-LaGrange-ligninger

Bevægelsens ligning for et system er afledt ved hjælp af euler-lagrange-ligningerne :

d/dt (∂l/∂q̇) - ∂l/∂q =0

hvor:

* Q er en generaliseret koordinat

* Q̇ er dets tidsderivat (generaliseret hastighed)

* ∂/∂q repræsenterer delvis differentiering med hensyn til q

* ∂/∂q̇ repræsenterer delvis differentiering med hensyn til Q̇

3. Annullering af dot

I nogle situationer kan Lagrangian skrives i en form, der giver mulighed for en forenkling. For eksempel, hvis Lagrangian kun afhænger af de generaliserede hastigheder, der er firkantet (Q̇²) og ikke direkte på hastighederne selv (Q̇), forenkler Euler-Lagrange-ligningerne.

Denne forenkling opstår, fordi derivatet med hensyn til Q̇ (∂L/∂q̇) vil involvere en faktor på 2Q̇, der annullerer Q̇ i tidsderivatet (D/DT). Dette efterlader kun udtryk, der involverer det andet derivat af Q (Q̈), som er accelerationen.

Eksempel:

Overvej en simpel harmonisk oscillator med potentiel energi V =(1/2) kx² og kinetisk energi t =(1/2) MQ ². Lagrangian er:

L =T - V =(1/2) MQ̇² - (1/2) KX²

Anvendelse af Euler-Lagrange-ligningen:

d/dt (∂l/∂q̇) - ∂l/∂q =0

D/DT (MQ̇) + KX =0

MQ̈ + KX =0

Dette er den velkendte bevægelsesligning for en simpel harmonisk oscillator. Bemærk, hvordan DOT (Q̇) annullerer under afledningen.

Kortfattet:

* ”Annullering af DOT” henviser til en forenkling, der forekommer i Lagrangian mekanik, når Lagrangian kun afhænger af firkanterne af generaliserede hastigheder.

* Denne forenkling fører til mere ligetil bevægelsesligninger og kan være særlig nyttige til systemer med enkle kinetiske energiudtryk.

Du er velkommen til at spørge, om du har yderligere spørgsmål!