Sådan finder du et fly med 3 point

Ligningen af ​​et plan i tredimensionelt rum kan skrives i algebraisk notation som økse + ved + cz = d, hvor mindst en af ​​realtallskonstanterne "a," "b" og "c" må ikke være nul, og "x", "y" og "z" repræsenterer det tredimensionale planets akser. Hvis der gives tre point, kan du bestemme flyet ved hjælp af vektorkorseprodukter. En vektor er en linje i rummet. En tværprodukt er multiplikationen af ​​to vektorer.

Få de tre punkter på flyet. Mærk dem "A", "B" og "C." Antag for eksempel, at disse punkter er A = (3, 1, 1); B = (1, 4, 2); og C = (1, 3, 4).

Find to forskellige vektorer på flyet. I eksemplet skal du vælge vektorer AB og AC. Vector AB går fra punkt-A til punkt-B, og vektor AC går fra punkt-A til punkt-C. Så trække hver koordinat i punkt-A fra hver koordinat i punkt-B for at få vektor AB: (-2, 3, 1). På samme måde er vektor AC punkt-C minus punkt-A eller (-2, 2, 3).

Beregn tværproduktet af de to vektorer for at få en ny vektor, som er normal (eller vinkelret eller ortogonale) til hver af de to vektorer og også til planet. Korsproduktet af to vektorer, (a1, a2, a3) og (b1, b2, b3) er givet ved N = i (a2b3 - a3b2) + j (a3b1 - a1b3) + k (a1b2 - a2b1). I eksemplet er krydsproduktet N af AB og AC i [(3 x 3) - (1 x 2)] + j [(1 x -2) - (-2 x 3)] + k [ -2 x 2) - (3x - 2)], hvilket forenkler N = 7i + 4j + 2k. Bemærk at "jeg", "j" og "k" bruges til at repræsentere vektorkoordinater.

Afled planetens ligning. Pladens ligning er Ni (x - a1) + Nj (y - a2) + Nk (z - a3) = 0, hvor (a1, a2, a3) er et hvilket som helst punkt i flyet og (Ni, Nj, Nk ) er den normale vektor, N. I eksemplet er ligningens ligning 7 (x - 1) + 4 (y - 3) + 2 (z - 4) = 0, hvilket forenkler til 7x - 7 + 4y - 12 + 2z - 8 = 0 eller 7x + 4y + 2z = 27.

Bekræft dit svar. Udskift de originale punkter for at se om de opfylder flyets ligning. For at konkludere eksemplet, hvis du erstatter et af de tre punkter, vil du se, at flyets ligning er rigtig tilfredsstillende.

Tip

Se Ressourcer for tips om, hvordan du bruger systemer af tre samtidige ligninger for at finde ligningen af ​​et fly.