Mestring af Z-scores:Sådan beregnes og fortolkes standardscores i statistik

Af Chris Deziel
Opdateret 30. august 2022

Darkdiamond67/iStock/GettyImages

Forestil dig at score 80 % på en test, mens klassegennemsnittet er 50 %. Det fortæller dig, at du gjorde det bedre end de fleste, men det afslører ikke, hvor langt over middelværdien du virkelig er. En Z-score giver dig den dybere indsigt ved at medregne spredningen af ​​alle scoringer. Det beregnes ved at trække gennemsnitsscoren fra din individuelle score og dividere resultatet med standardafvigelsen. Du kan endda konvertere Z-score til en percentil for at se præcis, hvor du står blandt dine jævnaldrende.

Hvorfor Z-Scores betyder noget

Kendt som en standardscore er Z-score en hjørnesten i statistisk analyse, fordi den normaliserer data på tværs af forskellige fordelinger. For eksempel, hvis din testscore er 80 og gennemsnittet er 50, er du over gennemsnittet, men du skal stadig vide, hvor mange klassekammerater der klarede sig lige så godt som dig. En høj Z-score angiver, at du tilhører en udvalgt gruppe af toppræstationer, mens en lav Z-score signalerer, at du er tættere på bunden af ​​kurven. Det samme princip gælder for andre målinger såsom vægt, højde eller testresultater i ethvert felt.

Sådan beregnes en Z-score

For ethvert datasæt med et gennemsnit (M) og en standardafvigelse (SD) beregnes Z-score for en specifik observation (D) som:

(D – M) / SD = Z-score

Før du anvender formlen, skal du først bestemme middelværdien og standardafvigelsen:

Middel  = (summen af alle scores) / (antal respondenter)

For at finde standardafvigelsen skal du trække middelværdien fra hver score, kvadrere forskellen, summere alle kvadrerede forskelle, dividere med antallet af respondenter og til sidst tage kvadratroden:

SD = √[(Σ (score – middel)²) / N]

Eksempel:Beregning af en Z-score

Overvej en test med en maksimal score på 100 taget af ti studerende, inklusive Tom. Resultaterne er:

• Tom – 75
• 67, 42, 82, 55, 72, 68, 75, 53, 78

1. Beregn gennemsnittet:(75+ 67 + 42 + 82 + 55 + 72 + 68 + 75 + 53 + 78) / 10 = 66,7.

2. Find standardafvigelsen:

• Træk gennemsnittet fra hver score, og kvadreret resultatet:
• (75 – 66,7)² = 69,89
• (67 – 66,7)² = 0,09
• (42 – 66,7)² = 605,29
• (82 – 66,7)² = 234,49
• (55 – 66,7)² = 137,29
• (72 – 66,7)² = 28.09
• (68 – 66,7)² = 1,69
• (75 – 66,7)² = 69,89
• (53 – 66,7)² = 181,69
• (78 – 66,7)² = 127,69

Summen af kvadrerede forskelle = 1.536,6. Divider med 10 for at få 153,66, og tag derefter kvadratroden:SD ≈ 12,4.

3. Beregn Toms Z-score:

Z = (75 – 66,7) / 12,4 ≈ 0,669.

En Z-score på 0,669 svarer til den 75. percentil på standard normalfordelingen, hvilket betyder, at Tom klarede sig bedre end 75 % af sine jævnaldrende og blev overgået med ca. 25 %.