Enhedscirklen:Forvandling af trigonometri til geometri

Billedkredit:diego_cervo/iStock/GettyImages

Trigonometri kan føles abstrakt, men enhedscirklen forvandler disse mysterier til konkret geometri. Ved at placere en cirkel med radius1 ved begyndelsen af et koordinatsystem bliver hver trigonometrisk værdi simpelthen et punkts x- eller y-koordinat.

TL;DR

Enhedscirklen har radius 1. Vinkler måles fra punktet (1,0) på den positive x-akse og øges mod uret. For enhver vinkelθ:

• sinθ =y‑koordinat for punktet på cirklen
• cosθ =x-koordinat for punktet på cirklen
• tanθ =y/x

Hvad er enhedscirklen?

A unit circle is simply a circle whose radius is exactly one unit. Den ene enhed kan være meter, fod, tommer - enhver måling; nøglen er, at radius er 1. På grund af dette bliver cirklens omkreds og areal simple multipla af π, og mange trigonometriske formler reduceres til rene tal.

Placer cirklen, så dens centrum falder sammen med oprindelsen af et kartesisk plan. Cirklen skærer den positive x-akse ved (1,0). Efter konvention begynder vi at måle vinkler fra det punkt og bevæger os mod uret. Punktet (1,0) svarer således til 0°, (0,1) til 90°, (‑1,0) til 180° og (0,-1) til 270° (eller –90°).

Definitionerne af synd og cos med enhedscirklen

I elementære kurser introduceres sin, cos og tan gennem retvinklede trekanter:

\(\sin\theta =\frac{\text{modsat}}{\text{hypotenuse}}\)
\(\cos\theta =\frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}\)
\(\tan\theta =\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)

På enhedscirklen er hypotenusen altid 1, så ligningerne forenkles til:

\(\sin\theta =\tekst{modsat}\)
\(\cos\theta =\tekst{tilstødende}\)

Hvis vi tegner en radius, der danner en vinkel θ med den positive x-akse, er den "modsatte" side y-koordinaten, og den "tilstødende" side er x-koordinaten for det punkt, hvor radius møder cirklen. Som følge heraf er sinθ y‑koordinaten, og cosθ er x‑koordinaten. Dette forklarer hvorfor sin0°=0 og cos0°=1, eller sin90°=1 og cos90°=0.

Negative vinkler håndteres naturligt:En rotation med uret fra startpunktet deler den samme x-koordinat som den tilsvarende positive vinkel, men vender fortegnet for y-koordinaten. Derfor:

\(\cos(-\theta) =\cos\theta\)
\(\sin(-\theta) =-\sin\theta\)

Definitionen af solbrun med enhedscirklen

Ved at bruge cirkeldefinitionerne for sin og cos forenkler tan forholdet mellem y-koordinaten og x-koordinaten:

\(\tan\theta =\frac{\sin\theta}{\cos\theta} =\frac{y}{x}\)

Denne form gør det klart, hvorfor tan er udefineret ved 90° (eller 270°), hvor x=0, fordi division med nul er umulig.

Tag grafiske trigonometriske funktioner

Når du ser enhedscirklen, varierer x-koordinaten jævnt fra 1 ned til –1, når du bevæger dig fra 0° til 180° og derefter tilbage op til 1 gange 360°. Sinusfunktionen følger det samme mønster, men når først sit højdepunkt på 1 ved 90°. Derfor er sin og cos 90° ude af fase. Tangent, der er forholdet y/x, har lodrette asymptoter, hvor x=0, hvilket producerer det velkendte gentagne mønster med udefinerede punkter ved ulige multipla af 90°.