Hvad er en omvendt funktion?

I matematik er en funktion en proces, du bruger til en uafhængig variabel x for at få den afhængige variabel y. Hvis du tænker på det som "gå fra" din x for at komme til din y, går en invers funktion på den modsatte måde, fra resultatet tilbage til den oprindelige værdi. På en måde er en inversfunktion det modsatte af den oprindelige, "fortrydelse" processen.

TL; DR (for lang, ikke læst)

En invers af en matematisk funktion reverserer rollerne y og x i den oprindelige funktion.

Funktioner og inverser

Matematikere definerer en funktion som en proces eller regel, der genererer de ordnede par i et sæt. Du kan tænke på det første medlem af parret som funktionens x, og det andet medlem som y. I en ægte funktion har den første værdi kun en løsningsværdi, der følger med den. Så hver x-værdi har kun en tilsvarende y-værdi. Så ligningen for den vandrette linje, y = 1 er en funktion, men den lodrette linje, x = 1 er ikke.

Tegn en graf

Grafen for en funktion og dens omvendte er refleksioner af en anden, med en linje der repræsenterer y = x virker som "spejlet". For at tage et eksempel starter grafen for den naturlige logaritmefunktion, ln (x), ved negativ uendelighed ved y-aksen og lige til højre for nul på x-aksen. Derefter krydser x-aksen ved punktet, (1,0) og har en lidt stigende kurve over x-aksen. Dens inverse, den naturlige eksponentfunktion exp (x), har x-aksen som sin asymptote, idet den starter ved negativ uendelighed på x-aksen lige over det. Det krydser y-aksen ved (0,1) og kurver stærkt opad. Tegn de to funktioner på en graf, og træk derefter linjen y = x, og du vil se, at exp (x) og ln (x) afspejler hinanden.

Sine og Cosine

Selv om sinus- og cosinusfunktionerne er beslægtede, er man ikke den invers af den anden. Sine- og cosinusfunktionerne giver lignende grafiske resultater, selvom cosinus "fører" sinus med 90 grader. Også cosinus er derivatet af sinus. Den inverse af sinusfunktionen er imidlertid arcsin, og den inverse af cosinus er arccosinen.

Find en omvendt funktion

Det er relativt nemt at finde den inverse af mange funktioner: Skift "y" og "x" i ligningen, og løs derefter for y. For eksempel overvej ligningen y = 2x + 4. Bytte y for x giver x = 2y + 4. Træk 4 fra begge sider for at få x - 4 = 2y, og divider derefter begge sider med 2 for at få (x ÷ 2) - 2 = y, den inverse funktion.

Inverse Non-Functions

Ikke alle inverses af funktioner er også funktioner. Husk at definitionen af ​​funktioner siger, at hver x kun har en y-værdi. Selv om arcsine er invers af sinusfunktionen, er arcsin ikke teknisk en funktion, da x-værdier har uendeligt mange tilsvarende y-værdier. Det er også sandt med y = x ^{2 og y = √x: den første er en funktion, og den anden er dens inverse, men kvadratroden giver to tilsvarende y-værdier, positive og negative, hvilket gør det ikke en sand funktion .}