Sådan beregnes vinklen på en sektor

Cirkler findes overalt i den virkelige verden, hvorfor deres radier, diametre og omkreds er betydningsfulde i det virkelige liv. Men der er andre dele af cirkler - for eksempel sektorer og vinkler - der også har betydning i dagligdags applikationer. Eksempler inkluderer sektorstørrelser af cirkulær mad som kager og tærter, den vinklede kørsel i et pariserhjul, størrelsen af et dæk til et bestemt køretøj og især størrelsen på en ring til et forlovelses- eller bryllupsarrangement. Af disse grunde og mere har geometri også ligninger og problemberegninger, der beskæftiger sig med centrale vinkler, buer og sektorer i en cirkel.
Hvad er den centrale vinkel?

Den centrale vinkel er defineret som vinklen oprettet af to stråler eller radier, der stråler fra midten af en cirkel, hvor cirkelens centrum er toppunktet i den centrale vinkel. Centrale vinkler er især relevante, når det gælder en jævn opdeling af pizza eller anden cirkulær-baseret mad blandt et bestemt antal mennesker. Sig, at der er fem personer på en soiree, hvor en stor pizza og en stor kage skal deles. Hvilken vinkel skal både pizzaen og kagen opdeles for at sikre en lige stor skive for alle? Da der er 360 grader i en cirkel, bliver beregningen 360 grader divideret med 5 for at nå frem til 72 grader, så hver skive, hvad enten det drejer sig om pizza eller kage, vil have en central vinkel, eller theta (θ), der måler 72 grader.
Bestemmelse af den centrale vinkel ud fra buelængden

En cirkelbue refererer til en "del" af cirkelens omkreds. Buelængden er derfor længden af den "del." Hvis du forestiller dig en pizzaskive, kan sektorområdet visualiseres som hele pizzaen, men buelængden er længden af yderskanten af skorpen for den bestemte skive. Fra buelængden kan den centrale vinkel beregnes. Faktisk siger en formel, der kan hjælpe med at bestemme den centrale vinkel, at buelængden (er) er lig med radius gange centralvinklen, eller s \u003d r × θ, hvor vinklen, theta, skal måles i radianer. Så for at løse for den centrale vinkel, theta, behøver man kun dele buelængden med radius, eller s ÷ r \u003d θ. For at illustrere, hvis buelængden er 5,9 og radien er 3,5329, bliver den centrale vinkel 1,67 radianer. Et andet eksempel er, hvis buelængden er 2 og radien er 2, bliver den centrale vinkel 1 radian. Hvis du vil konvertere radianer til grader, skal du huske, at 1 radian er lig med 180 grader divideret med π eller 57,2958 grader. Omvendt, hvis en ligning beder om at konvertere grader tilbage til radianer, skal du først multiplicere med π og derefter dele med 180 grader.
Bestemmelse af den centrale vinkel fra sektorområdet

En anden nyttig formel til at bestemme central vinkel leveres af sektorområdet, som igen kan visualiseres som en skive pizza. Denne særlige formel kan ses på to måder. Den første har den centrale vinkel målt i grader, så sektorområdet er lig π gange radius-kvadreret og derefter ganget med mængden af den centrale vinkel i grader divideret med 360 grader. Med andre ord:

(πr ^{2) × (central vinkel i grader ÷ 360 grader) \u003d sektorområde.}

Hvis den centrale vinkel måles i radianer, bliver formlen i stedet for :

sektorområde \u003d r ^{2 × (central vinkel i radianer ÷ 2).}

Omarrangering af formlerne hjælper med at løse værdien af den centrale vinkel eller theta. Overvej et sektorområde på 52,3 kvadratcentimeter med en radius på 10 centimeter. Hvad ville dens centrale vinkel være i grader? Beregningerne vil begynde med, at et sektorareal på 52,3 kvadratcentimeter var lig med:

(θ ÷ 360 grader) × πr ^2.

Da radien (r) er lig med 10, hele ligningen kan skrives som:

(52,3 ÷ 100π) × 360

, så theta kan skrives som:

(52,3 ÷ 314) × 360.

Så bliver det endelige svar en central vinkel på 60 grader.