Polynomier: Tilføjelse, subtraktion, deling og multiplikation

Alle matematikstuderende og mange naturvidenskabelige studerende støder på polynomier på et eller andet tidspunkt i løbet af deres studier, men heldigvis er de let at håndtere, når du lærer det grundlæggende. De vigtigste operationer, du har brug for med polynomiske udtryk, er tilføjelse, subtraktion, multiplikation og opdeling, og selvom opdelingen kan være kompliceret, vil du mest af tiden kunne håndtere de grundlæggende med lethed.
Polynomier: Definition og eksempler

Polynomial beskriver et algebraisk udtryk med et eller flere udtryk, der involverer en variabel (eller mere end en), med eksponenter og muligvis konstanter. De kan ikke inkludere opdeling efter en variabel, kan ikke have negative eller delvise eksponenter og skal have et begrænset antal udtryk.

Dette eksempel viser et polynom:

x

<sup>3 + 2 x
2 - 9 x
- 4</sup>

Og dette viser en anden:

xy

<sup>2 - 3 x
+ y</sup>

Der er mange måder at klassificere polynomer, inklusive efter grad (summen af eksponenterne på den højeste magtbegrænsning, f.eks. 3 i det første eksempel) og med antallet af udtryk, de indeholder, såsom monomier (et udtryk), binomialer (to udtryk) og trinomer (tre udtryk).
Tilføjelse og subtraktion af polynomier

Tilføjelse og subtraktion af polynomier afhænger af at kombinere "lignende" termer. Et lignende udtryk er en med de samme variabler og eksponenter som en anden, men antallet, de ganges med (koefficienten), kan være anderledes. For eksempel er x
^{2 og 4 x
2 som udtryk, fordi de har den samme variabel og eksponent, og 2 xy
4 og 6 xy
4 er ligesom termer. x
2, x
3, x
2 y og 2 og < em> y
2 er ikke ligesom termer, fordi hver enkelt indeholder forskellige kombinationer af variabler og eksponenter.}

Tilføj polynomier ved at kombinere lignende termer på samme måde som du ville med andre algebraiske udtryk. Se for eksempel på problemet:

( x
<sup>3 + 3 x
) + (9 x
3 + 2 x
+ y
)</sup>

Saml lignende termer for at få:

( x
<sup>3 + 9 x
3) + (3 x
+ 2 x
) + y</sup>

Og evaluer derefter ved blot at tilføje koefficienterne og kombinere til et enkelt udtryk:

10 x
<sup>3 + 5 x
+ y</sup>

Bemærk, at du ikke kan gøre noget med y
fordi det ikke har noget lignende udtryk.

Trækkning fungerer på samme måde:

(4 x
^{4 + 3 y
2 + 6 y
) - (2 x
4 + 2 y
2 + y
)}

Bemærk først, at alle udtryk i højre konsol er trukket fra dem i venstre håndbeslag, så skriv det som :

4 x
4 + 3 y
<sup>2 + 6 y
- 2 x
4 - 2 y
2− y</sup>

Kombiner lignende termer og evaluer for at få:

(4 x
4 - 2 x
4) + (3 y
<sup>2 - 2 y
2) + (6 y
- y
)</sup>

\u003d 2 x
^{4 + y og 2 + 5 y}

For et problem som dette:

(4 xy
+ x
<sup>2) - (6 xy
- 3 x
2)</sup>

Bemærk, at minus-tegnet anvendes på hele udtrykket i højre konsol, så de to negative tegn før 3_x_ ^{2 bliver et tilføjelsestegn:}

(4 xy
+ x
<sup>2) - (6 xy
- 3 x
2) \u003d 4 xy
+ x
2 - 6 xy
+ 3 x
2</sup>

Beregn derefter som før.
Multiplicering af polynomiske udtryk

Multipliser polynomiske udtryk ved at bruge fordelende egenskaber ved multiplikation. Kort sagt multiplicer hvert sigt i det første polynom med hvert sigt i det andet. Se på dette enkle eksempel:

4 x
× (2 x
^{2 + y
)}

Du løst dette ved hjælp af den distribuerende egenskab, så:

4 x
× (2 x
^{2 + y
) \u003d (4 < em> x
× 2 x
2) + (4 x
× y
)}

\u003d 8 x
^{3 + 4 xy}

Håndter mere komplicerede problemer på samme måde:

(2 y og ^{3 + 3 x
) × (5 x
2 + 2 x
)}

\u003d (2 y
^{3 × (5 x
2 + 2 x
)) + (3 x
× (5 x
2 + 2 x
))}

\u003d (2 y
^{3 × 5 x
2) + (2 y
3 × 2 x
) + (3 x
× 5 x
2) + (3 x
× 2 x
)}

\u003d 10 y og <sup>3 x
2 + 4 < em> y
3 x
+ 15 x
3 + 6 x
2</sup>

Disse problemer kan blive kompliceret for større grupperinger, men den grundlæggende proces er stadig den samme.
Dividing Polynomial E xpressions -

Opdelingen af polynomiske udtryk tager længere tid, men du kan tackle det i trin. Se på udtrykket:

( x
<sup>2 - 3 x
- 10) /( x
+ 2)</sup>

Skriv først udtrykket som en lang opdeling, med divisoren til venstre og udbyttet til højre:

x

+ 2) x
<sup>2 - 3 x
- 10</sup>

Del den første sigt i udbyttet med den første sigt i divisoren, og sæt resultatet på linjen over division. I dette tilfælde x
^{2 ÷ x
\u003d x
, så:}

x

x

+ 2) x
<sup>2 - 3 x
- 10</sup>

Multipliser dette resultat med hele divisoren, så i dette tilfælde ( x
+ 2) × x
\u003d x
^{2 + 2 < em> x
. Sæt dette resultat under opdelingen:}

x

x

+ 2) x
<sup>2 - 3 x
- 10</sup>

x
^{2 + 2 x}

Trækker resultatet på den nye linje fra vilkårene direkte over det (bemærk, at du teknisk ændrer tegnet, så hvis du havde et negativt resultat, vil du tilføje det i stedet), og sætte dette på en linje under det. Flyt også den sidste sigt fra det oprindelige udbytte.

x

x

+ 2) x
2 - 3 x
- 10

x
^{2 + 2 x}

0 - 5 x
- 10

Gentag nu processen med divisoren og det nye polynom på bundlinjen. Så divider den første sigt af divisoren ( x
) med den første sigt i udbyttet (−5 x
) og sæt dette ovenfor:

x

- 5

x

2) x
<sup>2 - 3 x
- 10</sup>

x
^{2 + 2 x}

0 - 5 x
- 10

Multiplicer dette resultat (−5 x
÷ x
\u003d −5) med den oprindelige divisor (så (< em> x
+ 2) × −5 \u003d −5 x
−10) og sæt resultatet på en ny bundlinje:

x

- 5

x

+ 2) x
<sup>2 - 3 x
- 10</sup>

x
^{2 + 2 x}

0 - 5 x
- 10

−5 x
- 10

Derefter trækkes den nederste linje fra den næste op (så i dette tilfælde skal du ændre tegnet og tilføje) , og sæt resultatet på en ny bundlinje:

x

- 5

x

+ 2) x
<sup>2 - 3 x
- 10</sup>

x
^{2 + 2 x}

0 - 5 x
- 10

−5 x
- 10

0 0

Da der nu er en række nuller i bunden, er processen færdig. Hvis der ikke var nogen nul-vilkår tilbage, gentager du processen igen. Resultatet er på den øverste linje, så:

( x
<sup>2 - 3 x
- 10) /( x
+ 2) \u003d x
- 5</sup>

Denne opdeling og nogle andre kan løses lettere, hvis du kan faktorere polynomet i udbyttet.