Fraktionelle eksponenter: Regler for multiplikation og opdeling

At lære at håndtere eksponenter er en integreret del af enhver matematikundervisning, men heldigvis stemmer reglerne for at multiplicere og dele dem overens med reglerne for ikke-fraktionelle eksponenter. Det første skridt til at forstå, hvordan man håndterer brøkdeleksponenter, er at få en gennemgang af, hvad de er nøjagtigt, og så kan du se på måderne, du kan kombinere eksponenter på, når de multipliceres eller deles, og de har den samme base. Kort sagt tilføjer du eksponenterne, når du multiplicerer og trækker den ene fra den anden, når du deler, forudsat at de har den samme base.

TL; DR (for lang; læste ikke)

Multiplicer termer med eksponenter ved hjælp af den generelle regel:

x <sup>a

+ x b
\u003d x
( a
+ b
)</sup>

Og del udtryk med eksponenter ved hjælp af reglen:

x <sup>a

÷ x b
\u003d x
( a
- b
)</sup>

Disse regler fungerer med ethvert udtryk i stedet for a
og b
, endog fraktioner.
Hvad er fraktionelle eksponenter?

Fraktionelle eksponenter giver en kompakt og nyttig måde at udtrykke kvadrat-, terning- og højere rødder på. Nævneren på eksponenten fortæller dig, hvilken rod af "basis" -nummeret udtrykket repræsenterer. I et udtryk som x ^{a
, kalder du x
basen og a
eksponenten. Så en fraktioneret eksponent fortæller dig:}

x

^{1/2 \u003d √ x}

Nævneren to på eksponenten fortæller dig, at du tager kvadratroten af x
i dette udtryk. Den samme grundlæggende regel gælder for højere rødder:

x

^{1/3 \u003d ∛ x}

Og

x

^{1/4 \u003d 4√x}

Dette mønster fortsætter. For et konkret eksempel:

9 ^{1/2 \u003d √9 \u003d 3}

Og

8 ^{1/3 \u003d ∛8 \u003d 2
Regel for brøkdel: eksponering af brøkeksponenter med samme base}

Multiplicer termer med brøkeksponenter (forudsat at de har samme base) ved at tilføje eksponenterne sammen. For eksempel:

x

^{1/3 × x
1/3 × x
1/3 \u003d x
(1/3 + 1/3 + 1/3)}

\u003d x
^{1 \u003d < em> x}

Da x
^{1/3 betyder "terningroden af x
", giver det perfekt mening, at dette ganges med sig selv giver to gange resultatet x
. Du kan også løbe ind i eksempler som x
1/3 × x
1/3, men du behandler disse på nøjagtigt samme måde:}

x

^{1/3 × x
1/3 \u003d x
(1/3 + 1/3)}

\u003d x
^2/3

Det faktum, at udtrykket i slutningen stadig er en delvis eksponent, gør ikke en forskel til processen. Dette kan forenkles, hvis du bemærker, at x
<sup>2/3 \u003d ( x
1/3) 2 \u003d ∛ x
2. Med et udtryk som dette betyder det ikke noget, om du først tager rod eller magt. Dette eksempel illustrerer, hvordan man beregner disse:</sup>

8 ^{1/3 + 8 1/3 \u003d 8 2/3}

\u003d ∛8 ²

Da terningroden af 8 er let at arbejde på, skal du tackle dette på følgende måde:

∛8 ^{2 \u003d 2 2 \u003d 4}

Så dette betyder:

8 ^{1/3 + 8 1/3 \u003d 4}

Du kan også støde på produkter fra fraktionelle eksponenter med forskellige numre i nævnerne af fraktionerne, og du kan tilføje disse eksponenter på samme måde som du vil tilføje andre fraktioner. For eksempel:

x

^{1/4 × x
1/2 \u003d x
(1/4 + 1/2)}

\u003d x
^{(1/4 + 2/4)}

\u003d x
^3/4

Dette er alle specifikke udtryk for den generelle regel for at multiplicere to udtryk med eksponenter:

x <sup>a

+ x b
\u003d x
( a
+ b
)
Regler for brøkdel: Opdeling af fraktionelle eksponenter med den samme base</sup>

Pak opdelinger af to tal med fraktionelle eksponenter ved at trække eksponenten, som du deler (divisoren), med den, du deler (udbyttet). For eksempel:

x

^{1/2 ÷ x
1/2 \u003d x
(1/2 - 1/2)}

\u003d x
^{0 \u003d 1}

Dette giver mening, fordi ethvert tal divideret med sig selv er lig med et , og dette stemmer overens med standardresultatet, at ethvert tal hævet til en magt på 0 er lig med et. Det næste eksempel bruger tal som baser og forskellige eksponenter:

16 ^{1/2 ÷ 16 1/4 \u003d 16 (1/2 - 1/4)}

\u003d 16 ^{(2/4 - 1/4)}

\u003d 16 ^1/4

\u003d 2

Hvilket du også kan se om du bemærker, at 16 ^{1/2 \u003d 4 og 16 1/4 \u003d 2.}

Som med multiplikation, kan du også ende med fraktionerede eksponenter, der har et andet tal end en i tæller, men du behandler disse på samme måde.

Disse udtrykker ganske enkelt den generelle regel for opdeling af eksponenter:

x <sup>a

÷ x b
\u003d x
( a
- b
)
Multiplikation og opdeling Fraktionelle eksponenter i forskellige baser</sup>

Hvis baserne på termerne er forskellige, er der ingen nem måde at formere eller opdele eksponenter på. I disse tilfælde skal du blot beregne værdien af de individuelle termer og derefter udføre den krævede handling. Den eneste undtagelse er, hvis eksponenten er den samme, i hvilket tilfælde du kan multiplicere eller opdele dem som følger:

x

^{4 × y
4 \u003d ( xy
) 4}

x

^{4 ÷ y
4 \u003d ( x ÷ y
) 4}