Maxwells ligninger: Definition, derivation, hvordan man kan huske (w /eksempler)

At løse mysterierne ved elektromagnetisme har været en af de største resultater inden for fysik til dato, og de erfaringer, der er læst, er fuldt indkapslet i Maxwells ligninger.

James Clerk Maxwell giver sit navn til disse fire elegante ligninger, men de er kulminationen på årtiers arbejde fra mange fysikere, herunder Michael Faraday, Andre-Marie Ampere og Carl Friedrich Gauss - der giver deres navn til tre af de fire ligninger - og mange andre. Mens Maxwell selv kun føjede en betegnelse til en af de fire ligninger, havde han fremsyn og forståelse for at samle det allerbedste af det arbejde, der var blevet udført om emnet, og præsentere dem på en måde, der stadig bruges af fysikere i dag.

I mange, mange år troede fysikere, at elektricitet og magnetisme var separate kræfter og adskilte fænomener. Men gennem eksperimentelt arbejde med mennesker som Faraday blev det stadig mere tydeligt, at de faktisk var to sider af det samme fænomen, og Maxwells ligninger præsenterer dette samlede billede, der stadig er så gyldigt i dag som det var i det 19. århundrede. Hvis du skal studere fysik på højere niveauer, skal du absolut kende Maxwells ligninger og hvordan man bruger dem.
Maxwells ligninger

Maxwells ligninger er som følger i både den differentielle form og den integrerede form. (Bemærk, at selvom viden om differentialligninger er nyttig her, er en begrebsmæssig forståelse mulig også uden den.)

Gauss 'lov for elektricitet -

Differentialform:
\\ bm {∇ ∙ E} \u003d \\ frac {ρ} {ε_0}

Integreret form:
\\ int \\ bm {E ∙} d \\ bm {A} \u003d \\ frac {q} {ε_0}

Ingen monopollov /Gauss 'lov for magnetisme -

Differentialform:
\\ bm {∇ ∙ B} \u003d 0

Integreret form:
\\ int \\ bm {B ∙} d \\ bm {A} \u003d 0

Faradays induktionslov

Differentialform:
\\ bm {∇ × E} \u003d - \\ frac {∂ \\ bm {B}} {∂t}

Integreret form:
\\ int \\ bm {E ∙} d \\ bm {s} \u003d - \\ frac {∂ \\ phi_B} {∂t}

Ampere-Maxwell Law /Ampere Law

Differentialform:
\\ bm {∇ × B} \u003d \\ frac {J} {ε_0 c ^ 2} + \\ frac {1} {c ^ 2} \\ frac {∂E} {∂t}

Integreret form:
\\ int \\ bm {B ∙} d \\ bm {s} \u003d μ_0 I + \\ frac {1} {c ^ 2} \\ frac {∂} {∂t} \\ int \\ bm {E ∙} d \\ bm {A } Symboler brugt i Maxwells ligninger

Maxwells ligninger bruger et ret stort udvalg af symboler, og jeg Det er vigtigt, at du forstår, hvad det betyder, hvis du vil lære at anvende dem. Så her er en oversigt over betydningen af de anvendte symboler:

B
\u003d magnetfelt

E
\u003d elektrisk felt

ρ
\u003d elektrisk ladningstæthed

ε _{0
\u003d permittivitet for frit rum \u003d 8.854 × 10 ^{-12 m -3 kg -1 s 4 A 2}}

q
\u003d samlet elektrisk ladning (nettosummen af positive ladninger og negative ladninger)

< em> 𝜙
_{B \u003d magnetisk flux}

J
\u003d strømtæthed

I
\u003d elektrisk strøm |

c
\u003d lysets hastighed \u003d 2.998 × 10 ^{8 m /s}

μ
_{0 \u003d permeabilitet i frit rum \u003d 4π × 10 < sup> −7 N /A ²}

Derudover er det vigtigt at vide, at ∇ er deloperatøren, et punktum mellem to mængder ( X
∙ Y
) viser et skalært produkt, et fed fed multiplikationssymbol mellem to mængder er et vektorprodukt ( X
× Y
), at deloperatøren med et punkt kaldes "divergens" ( f.eks. ∇ ∙ X
\u003d d ivergens af X
\u003d div X
) og en del-operatør med et skalarprodukt kaldes krøllen (f.eks. ∇ × Y
\u003d krøllet af Y
\u003d krøll Y
). Endelig betyder A
i d A
overfladearealet på den lukkede overflade, du beregner efter (undertiden skrevet som d S
), og s
i d_s_ er en meget lille del af grænsen for den åbne overflade, du beregner efter (selvom dette undertiden er d_l_, der henviser til en uendelig lille linjekomponent).
Afledning af ligningerne

Den første ligning af Maxwells ligninger er Gauss 'lov, og den siger, at den elektriske nettostrømning gennem en lukket overflade er lig med den samlede ladning indeholdt i formen divideret med permittiviteten for frit rum. Denne lov kan udledes af Coulombs lov efter at have taget det vigtige skridt med at udtrykke Coulombs lov med hensyn til et elektrisk felt og den virkning, det ville have på en testladning.

Den anden af Maxwells ligninger svarer i det væsentlige til udsagnet om, at "der ikke er nogen magnetiske monopoler." Den siger, at den magnetiske nettoflux gennem en lukket overflade altid vil være 0, fordi magnetfelter altid er resultatet af en dipol. Loven kan udledes af Biot-Savart-loven, der beskriver det magnetiske felt, der er produceret af et aktuelt element.

Den tredje ligning - Faradays induktionslov - beskriver, hvordan et skiftende magnetfelt producerer en spænding i en løkke af ledning eller leder. Det stammer oprindeligt fra et eksperiment. I betragtning af resultatet af, at en skiftende magnetisk flux inducerer en elektromotorisk kraft (EMF eller spænding) og derved en elektrisk strøm i en trådsløjfe, og det faktum, at EMF er defineret som linieintegralet i det elektriske felt omkring kredsløbet, lov er let at sammensætte.

Den fjerde og sidste ligning, Ampere's lov (eller Ampere-Maxwell-loven for at give ham kredit for hans bidrag) beskriver, hvordan et magnetfelt genereres af en bevægelig ladning eller en skiftende elektrisk felt. Loven er resultatet af eksperimentet (og så - ligesom alle Maxwells ligninger - virkelig ikke "afledt" i traditionel forstand), men at bruge Stokes 'teorem er et vigtigt skridt i at få det grundlæggende resultat til den form, der anvendes i dag.
Eksempler på Maxwells ligninger: Gauss 'lov

For at være ærlig, især hvis du ikke er nøjagtigt oppe på din vektorkalkyle, ser Maxwells ligninger ganske skræmmende ud på trods af hvor relativt kompakte de alle er. Den bedste måde at virkelig forstå dem på er at gennemgå nogle eksempler på at bruge dem i praksis, og Gauss 'lov er det bedste sted at starte. Gauss 'lov er i det væsentlige en mere grundlæggende ligning, der gør jobbet med Coulombs lov, og det er temmelig let at udlede Coulombs lov fra det ved at overveje det elektriske felt, der er produceret af en punktafgift.

Opkald til ladningen q
, det centrale punkt i anvendelsen af Gauss 'lov er at vælge den rigtige “overflade” til at undersøge den elektriske strøm gennem. I dette tilfælde fungerer en kugle godt, som har overfladeareal A
\u003d 4π_r_ ^{2, fordi du kan centrere kuglen på punktladningen. Dette er en enorm fordel ved at løse problemer som dette, da du ikke behøver at integrere et varierende felt på tværs af overfladen; feltet vil være symmetrisk omkring punktladningen, og det vil således være konstant over kuglens overflade. Så den integrerede form:
\\ int \\ bm {E ∙} d \\ bm {A} \u003d \\ frac {q} {ε_0}}

Kan udtrykkes som:
E × 4πr ^ 2 \u003d \\ frac {q} {ε_0}

Bemærk, at E
for det elektriske felt er blevet erstattet med en simpel størrelse, fordi feltet fra en punktladning simpelthen spreder sig lige i alle retninger fra kilden. Nu deler man ved kuglens overfladeareal:
E \u003d \\ frac {q} {4πε_0r ^ 2}

Da kraften er relateret til det elektriske felt med E
\u003d < em> F
/ q
, hvor q
er en testafgift, F
\u003d qE
, og så:
F \u003d \\ frac {q_1q_2} {4πε_0r ^ 2}

Hvor underskrifterne er tilføjet for at differentiere de to ladninger. Dette er Coulombs lov angivet i standardform, vist at være en simpel konsekvens af Gauss 'lov.
Eksempler på Maxwells ligninger: Faradays lov |

Faradays lov giver dig mulighed for at beregne elektromotorisk kraft i en trådsløjfe resulterende fra et skiftende magnetfelt. Et simpelt eksempel er en trådsløjfe med radius r
\u003d 20 cm, i et magnetfelt, der øges i styrke fra B
_{i \u003d 1 T til B
f \u003d 10 T i rummet ∆ t
\u003d 5 s - hvad er den inducerede EMF i dette tilfælde? Den integrerede form af loven involverer fluxen:
\\ int \\ bm {E ∙} d \\ bm {s} \u003d - \\ frac {∂ \\ phi_B} {∂t}}

som er defineret som:
ϕ \u003d BA \\ cos (θ)

Den centrale del af problemet her er at finde hastigheden på fluxændring, men da problemet er ret ligetil, kan du erstatte den delvise derivat med en simpel "ændring i" hver antal. Og integralet betyder egentlig bare elektromotorisk kraft, så du kan omskrive Faradays induktionslov som:
\\ text {EMF} \u003d - \\ frac {∆BA \\ cos (θ)} {∆t}

Hvis vi antag at ledningssløjfen har sin normale linie med magnetfeltet, θ
\u003d 0 ° og så cos ( θ
) \u003d 1. Dette efterlader:
\\ text {EMF} \u003d - \\ frac {∆BA} {∆t}

Problemet kan derefter løses ved at finde forskellen mellem det oprindelige og det endelige magnetfelt og området med løkken, som følger:
\\ begynde {justert} \\ text {EMF} & \u003d - \\ frac {∆BA} {∆t} \\\\ & \u003d - \\ frac {(B_f - B_i) × πr ^ 2} {∆t} \\\\ & \u003d - \\ frac {(10 \\ text {T} - 1 \\ tekst {T}) × π × (0,2 \\ tekst {m}) ^ 2} {5 \\ tekst {s}} \\\\ & \u003d - 0.23 \\ tekst {V} \\ ende {justeret }

Dette er kun en lille spænding, men Faradays lov gælder på samme måde uanset.
Eksempler på Maxwells ligninger: Ampere-Maxwell-loven |

Ampere-Maxwell-loven er den sidste af Maxwells ligninger, som du bliver nødt til at anvende regelmæssigt. Ligningen vender tilbage til Ampere's lov i fravær af et skiftende elektrisk felt, så dette er det nemmeste eksempel at overveje. Du kan bruge den til at udlede ligningen for et magnetfelt, der stammer fra en lige ledning, der bærer en strøm I
, og dette grundlæggende eksempel er nok til at vise, hvordan ligningen bruges. Den fulde lov er:
\\ int \\ bm {B ∙} d \\ bm {s} \u003d μ_0 I + \\ frac {1} {c ^ 2} \\ frac {∂} {∂t} \\ int \\ bm { E ∙} d \\ bm {A}

Men uden skiftende elektrisk felt reduceres det til:
\\ int \\ bm {B ∙} d \\ bm {s} \u003d μ_0 I

Nu, som med Gauss 'lov, hvis du vælger en cirkel til overfladen, centreret på ledningssløjfen, antyder intuition at det resulterende magnetfelt vil være symmetrisk, og så kan du erstatte integralen med et simpelt produkt af omkredsen af løkken og det magnetiske feltstyrke, der forlader:
B × 2πr \u003d μ_0 I

Dividende igennem med 2π_r_ giver:
B \u003d \\ frac {μ_0 I} {2πr}

Hvilket er det accepterede udtryk for magnetfeltet ved en afstand r
som følge af en lige ledning med strøm.
Elektromagnetiske bølger

Da Maxwell samlet sit sæt ligninger, begyndte han at finde løsninger på dem for at hjælpe med at forklare forskellige fænomener i den virkelige verden, og den indsigt, den gav i lyset, er et af de vigtigste resultater, han opnåede.

B fordi et skiftende elektrisk felt genererer et magnetfelt (ved Ampere's lov) og et skiftende magnetfelt genererer et elektrisk felt (ved Faradays lov), Maxwell regnede ud af, at en selvforplantende elektromagnetisk bølge muligvis var mulig. Han brugte sine ligninger til at finde bølgeforligningen, der ville beskrive en sådan bølge og bestemte, at den ville køre med lysets hastighed. Dette var et ”eureka” øjeblik af slags; han indså, at lys er en form for elektromagnetisk stråling, der fungerer lige som det felt, han forestillede sig!

En elektromagnetisk bølge består af en elektrisk feltbølge og en magnetisk feltbølge, der svinger frem og tilbage, rettet vinkelret på hver Andet. Svingningen af den elektriske del af bølgen genererer magnetfeltet, og svingningen af denne del producerer igen et elektrisk felt igen, til og fra, når det bevæger sig gennem rummet.

Som enhver anden bølge, en elektromagnetisk bølgen har en frekvens og en bølgelængde, og produktet af disse er altid lig med c
, lysets hastighed. Elektromagnetiske bølger er rundt omkring os, og såvel som synligt lys kaldes andre bølgelængder ofte radiobølger, mikrobølger, infrarød, ultraviolet, røntgenstråler og gammastråler. Alle disse former for elektromagnetisk stråling har den samme grundlæggende form som forklaret af Maxwells ligninger, men deres energier varierer med frekvens (dvs. en højere frekvens betyder en højere energi).

Så for en fysiker var det Maxwell, der sagde: ”Lad der være lys!”