Hvordan man kender forskellen mellem en lodret asymptote og et hul i grafen for en rationel funktion

Der er en vigtig stor forskel mellem at finde den lodrette asymptote (r) af grafen for en rationel funktion og finde et hul i grafen for den funktion. Selv med de moderne grafikregnemaskiner, som vi har, er det meget svært at se eller identificere, at der er et hul i grafen. Denne artikel vil vise, hvordan man identificerer både analytisk og grafisk.

Vi vil bruge en given rationel funktion som et eksempel, der viser analytisk, hvordan man finder en lodret asymptote og et hul i grafen for den funktion. Lad den rationelle funktion være, ... f (x) = (x-2) /(x² - 5x + 6).

Faktorisering af nævneren af ​​f (x) = (x-2) /x² - 5x + 6). Vi får følgende tilsvarende funktion, f (x) = (x-2) /[(x-2) (x-3)]. Nu, hvis nævneren (x-2) (x-3) = 0, så vil den rationelle funktion være undefined, det vil sige for Division by Zero (0). Se venligst artiklen 'Sådan fordeles nul (0)', skrevet af den samme forfatter, Z-MATH.

Vi vil bemærke, at Division by Zero kun er udefineret, hvis det rationelle udtryk har en numerator der er ikke lig med nul (0), og nævneren er lig med nul (0), i så fald går grafen for funktionen uden grænser mod positiv eller negativ infinitet ved værdien af ​​x, der får nomenekommandoen til at ligne nul . Det er ved denne x, at vi tegner en lodret linje, der hedder den lodrette asymptote.

Nu hvis Numeratoren og Nogenheden for det rationelle udtryk er begge nul (0) for samme værdi af x, så Division ved nul på denne værdi af x siges at være "meningsløs" eller ubestemt, og vi har et hul i grafen ved denne værdi af x.

Så i den rationelle funktion f (x) = ( x-2) /[(x-2) (x-3)], ser vi at ved x = 2 eller x = 3, er nævneren lig med nul (0). Men ved x = 3 bemærker vi, at Numeratoren er lig med (1), det vil sige f (3) = 1/0, derfor en vertikal asymptote ved x = 3. Men ved x = 2 har vi f (2 ) = 0/0, 'meningsløs'. Der er et hul i grafen ved x = 2.

Vi kan finde koordinaterne til hullet ved at finde en tilsvarende rationel funktion til f (x), der har alle de samme punkter i f (x) undtagen ved punktet x = 2. Det vil sige, lad g (x) = (x-2) /[(x-2) (x-3)], x ≠ 2, så ved at reducere til laveste udtryk har vi g (x) = 1 /3). Ved at erstatte x = 2, til denne funktion får vi g (2) = 1 /(2-3) = 1 /(- 1) = -1. så hullet i grafen for f (x) = (x-2) /(x² - 5x + 6) er ved (2, -1).