Sådan løses lineære uligheder

Sig, at du skal gå i indkøb i dagligvarer, og at du har et budget. Du vil købe pasta og brød til en stor gruppe, men du kan ikke bruge mere end tyve dollars. I teorien kunne du kun købe brød og ingen pasta eller masser af brød og kun en kasse pasta. Hvor mange forskellige kombinationer af pastakasser og brød kunne du købe? Og hvordan kan du få mest muligt ud af hver for dine penge?

Problemer som disse kaldes lineære uligheder: ligninger, hvis graf er en linje, men i stedet for at bruge ligetegnet, bruger de ulighedssymboler som> eller < .

TL; DR (for lang; læste ikke)

For at løse en lineær ulighed skal du finde alle kombinationerne af x
og y
der gør uligheden sand. Du kan løse lineære uligheder ved hjælp af algebra eller ved grafering.

For at løse en lineær ulighed (eller en hvilken som helst ligning) skal du finde alle kombinationerne af x
og y
der gør denne ligning sand.

Du kan løse lineære uligheder algebraisk eller du kan repræsentere løsningen på en graf (eller begge dele!). Lad os gennemgå nogle eksempler på problemer sammen.
Løsning af lineære uligheder Algebraisk

Denne proces er næsten ikke det samme som at løse en lineær ligning, men med en nøgleundtagelse. Se på nedenstående problem.

−4_x_ - 6> 12 - x

Først får du alle x
-erne på samme side af tegnet "større end". Tilføj x
til begge sider for at annullere x
i højre side og har kun x
til venstre.

- 4_x_ (+ x
) - 6> 12 - x
(+ x
)

−3_x_ - 6> 12.

Tilføj nu seks til begge sider:

−3_x_ - 6 (+ 6)> 12 (+ 6)

−3_x_> 18.

Indtil videre har dette været nøjagtigt som enhver lineær ligning. Men nu er tingene ved at ændre sig! Når du deler begge sider af en ulighed med et negativt tal, er du nødt til at skifte retning for ulighedssymbolet.

Så for −3_x_> 18, vil vi dele begge sider med −3, og så skal vi vende> -tegnet til et

x
<−6 - Graf Linjære uligheder -

Hvad med grafering? Endnu en gang ligner processen virkelig lineære ligninger, men der er en vigtig forskel. Da du skal angive alle
af kombinationerne af x
og y
, der gør en ulighed sand, skal du tegne linjen som normalt og derefter kommer til at skygge i det afsnit af grafen, der giver dig resten af de mulige løsninger.

For eksempel, hvordan ville du tegne ulighed y
<3_x_ + 6?

Først vil du bemærke, at uligheden er i form af hældningsafskærmning, hvilket betyder, at vi kan bruge y
-skærmbilledet og skråningen til hurtigt at tegne linjen.

y
-afskærmning er 6, så tegn et punkt ved (0, 6), brug derefter det faktum, at skråningen er 3 for at gå op i tre enheder og en enhed til højre, og tegn derefter et punkt. Dit punkt skal være (1, 9). For at gøre en linje pæn og smuk er det dejligt at få tre point, så træk endnu et punkt ved at starte på (1, 9) og gå op tre, over et igen. Du får et punkt på (2, 12). Tegn nu en linje ved at forbinde punkterne.

Fantastisk! Du har lige tegnet ligheden y
\u003d 3_x_ + 6, men husk, at den originale ligning er y
<3_x_ + 6. Brug dette enkle trick til at skygge den korrekte del af grafen: når ulighed er i hældningsafskærmningsform, hvis du har y
<, skygger du i alt under linjen. Hvis du har y
>, skygger du alt over linjen.

Men dobbeltkontrol for at sikre dig! Når du skygger i et helt afsnit af grafen, betyder det, at et af disse punkter skal gøre ligningen sand. Grib et tilfældigt punkt, som du har skygget ind, og sæt x
og y
i den oprindelige ulighed. Hvis det fungerer, er du god til at gå. Hvis det ikke gør det, skal du dobbeltkontrollere din graftegning og /eller din algebra.

En sidste ting: Når du har> eller <, skal linjen på grafen prikkes! Når uligheden bruger ≥ eller ≤, skal linjen være solid. Dette viser, hvorvidt punkterne på selve linien er inkluderet i løsningen.
Løs systemer for lineære uligheder -

Løsning af et system med lineære uligheder svarer meget til at løse ligningssystemer. Grafning er den nemmeste måde at løse lineære uligheder på.

For at tegne et system af lineære uligheder skal du tegne din første ulighed som du gjorde ovenfor og skygge i områdene over eller under din linje. Graf derefter den anden ulighed. Endnu en gang skal du skygge i alle sektioner i grafen, der gør uligheden ulighed. Det meste af tiden er der et område på grafen, som du har skygget over to gange! Dette er løsningen på systemet med uligheder, fordi det er det afsnit i grafen, hvor begge uligheder er rigtige.