Sådan beregnes en Cofunction

Nogensinde spekulerer på, hvordan trigonometriske funktioner som sinus og cosinus er forbundet? De bruges begge til beregning af sider og vinkler i trekanter, men forholdet går længere end det. Cofunktionsidentiteter giver os specifikke formler, der viser, hvordan man konverterer mellem sinus og cosinus, tangent og cotangent og secant og cosecant.

TL; DR (for lang; ikke læst)

sinus af en vinkel er lig med kosinus af dens komplement og vice versa. Dette gælder også for andre medfunktioner.

En nem måde at huske, hvilke funktioner der er medfunktioner, er, at to trig-funktioner er medfunktioner, hvis en af dem har "co-" præfikset foran. Så:

sinus og kosinus er cofunktioner.

tangent og cotangent er cofunktioner.

secant og cosecant er cofunktioner.

Vi kan beregne frem og tilbage mellem cofunktioner ved hjælp af denne definition: Værdien af en funktion af en vinkel er lig med værdien af kompofunktionen af komplementet.

Det lyder kompliceret, men i stedet for at tale om værdien af en funktion generelt, lad os bruge et specifikt eksempel. sinus
af en vinkel er lig med kosinus
af dens komplement. Og det samme gælder for andre cofunktioner: En vinkels tangens er lig med kootangenten for dens komplement.

Husk: To vinkler er komplimenter, hvis de tilføjer op til 90 grader.
Cofunction Identities in Degrees:

(Bemærk, at 90 ° - x giver os et vinkeltilskud.)

sin (x) \u003d cos (90 ° - x)

cos (x) \u003d sin (90) ° - x)

tan (x) \u003d barneseng (90 ° - x)

barneseng (x) \u003d solbrun (90 ° - x)

sek (x) \u003d csc (90 ° - x)

csc (x) \u003d sek (90 ° - x)
Cofunction identiteter i radianer

Husk, at vi også kan skrive ting i form af radianer , som er SI-enheden til måling af vinkler. Halvfems grader er det samme som π /2 radianer, så vi kan også skrive cofunktionsidentiteter som dette:

sin (x) \u003d cos (π /2 - x)

cos (x ) \u003d sin (π /2 - x)

tan (x) \u003d barneseng (π /2 - x)

barneseng (x) \u003d solbrun (π /2 - x)

sec (x) \u003d csc (π /2 - x)

csc (x) \u003d sec (π /2 - x)
Cofunction Identity Proof

Alt dette lyder rart, men hvordan kan vi bevise, at dette er sandt? Hvis du tester det selv på et par eksempler af trekanter, kan du hjælpe dig med at føle dig selvsikker på det, men der er også et mere streng algebraisk bevis. Lad os bevise cofunktionsidentiteterne for sinus og kosinus. Vi arbejder i radianer, men det er det samme som at bruge grader.

Bevis: sin (x) \u003d cos (π /2 - x)

Først og fremmest nå vej tilbage i din hukommelse til denne formel, fordi vi vil bruge den i vores bevis:

cos (A - B) \u003d cos (A) cos (B) + sin (A) sin (B)

Har du det? OKAY. Lad os nu bevise: sin (x) \u003d cos (π /2 - x).

Vi kan omskrive cos (π /2 - x) på denne måde:

cos (π /2 - x) \u003d cos (π /2) cos (x) + sin (π /2) sin (x)

cos (π /2 - x) \u003d 0 cos (x) + 1 sin (x) , fordi vi kender cos (π /2) \u003d 0 og sin (π /2) \u003d 1.

cos (π /2 - x) \u003d sin (x).

Ta- da! Lad os nu bevise det med kosinus!

Bevis: cos (x) \u003d sin (π /2 - x)

En anden eksplosion fra fortiden: Husk denne formel?

sin (A - B) \u003d sin (A) cos (B) - cos (A) sin (B).

Vi er ved at bruge det. Lad os nu bevise: cos (x) \u003d sin (π /2 - x).

Vi kan omskrive sin (π /2 - x) på denne måde:

sin (π /2 - x) \u003d sin (π /2) cos (x) - cos (π /2) sin (x)

sin (π /2 - x) \u003d 1 cos (x) - 0 sin (x) , fordi vi kender sin (π /2) \u003d 1 og cos (π /2) \u003d 0.

sin (π /2 - x) \u003d cos (x).
Cofunction Calculator

Prøv et par eksempler, der arbejder med cofunktioner på egen hånd. Men hvis du sidder fast, har Math Celebrity en cofunktionsregner, der viser trin-for-trin-løsninger til cofunktionsproblemer.

Glad beregning!

Sidste artikelSådan deles radikaler

Næste artikelSådan finder du den oprindelige pris