Sådan finder du drejepoint af en polynom

Et polynom er et udtryk, der beskæftiger sig med faldende kræfter af 'x', som i dette eksempel: 2X ^ 3 + 3X ^ 2 - X + 6. Når et polynom af grad to eller højere er graferet, det producerer en kurve. Denne kurve kan ændre retning, hvor den starter som stigende kurve, når så et højdepunkt, hvor det ændrer retning og bliver en nedadgående kurve. Omvendt kan kurven falde til et lavt punkt, hvormed det vender retning og bliver en stigende kurve. Hvis graden er høj nok, kan der være flere af disse vendepunkter. Der kan være så mange vendepunkter som en mindre end graden - størrelsen af ​​den største eksponent - af polynomet.

Find polynomialets derivat. Dette er en enklere polynomial - en grad mindre - der beskriver, hvordan det oprindelige polynom ændrer sig. Derivatet er nul, når det oprindelige polynom er ved et vendepunkt - det punkt, hvor grafen hverken stiger eller falder. Rødderne af derivatet er de steder, hvor det oprindelige polynom har vendpunkter. Fordi derivatet har grad en mindre end det oprindelige polynom, vil der være et mindre vendepunkt - højst - end graden af ​​det oprindelige polynom.

Formulerer derivatet af et polynomalt udtryk efter term. Mønsteret er dette: bX ^ n bliver bnX ^ (n - 1). Anvend mønsteret til hvert udtryk bortset fra det konstante udtryk. Derivater udtrykker ændring og konstanter ændres ikke, så derivatet af en konstant er nul. For eksempel er derivaterne af X ^ 4 + 2X ^ 3 - 5X ^ 2 - 13X + 15 4X ^ 3 + 6X ^ 2 - 10X - 13. De 15 forsvinder, fordi derivatet af 15 eller en hvilken som helst konstant er nul. Derivatet 4X ^ 3 + 6X ^ 2 - 10X - 13 beskriver hvordan X ^ 4 + 2X ^ 3 - 5X ^ 2 - 13X + 15 ændres.

Find vendpunkterne i et eksempelpolynom X ^ 3 - 6X ^ 2 + 9X - 15. Find først derivatet ved at anvende mønsterbetegnelsen efter term for at få derivatpolynomet 3X ^ 2 -12X + 9. Sæt derivatet til nul og faktor for at finde rødderne. 3X ^ 2 -12X + 9 = (3X-3) (X-3) = 0. Dette betyder at X = 1 og X = 3 er rødder på 3X ^ 2 -12X + 9. Dette betyder at grafen for X ^ 3 - 6X ^ 2 + 9X - 15 vil ændre retninger når X = 1 og når X = 3.

Tip

Det sparer meget tid, hvis du faktoriserer almindelige vilkår før du starter søgningen efter vendepunkter. For eksempel. polynomet 3X ^ 2 -12X + 9 har nøjagtigt de samme rødder som X ^ 2 - 4X + 3. Faktoring ud 3 forenkler alt.

Advarsel

Graden af ​​derivatet giver maksimalt antal rødder. I tilfælde af flere rødder eller komplekse rødder kan derivatet indstillet til nul have færre rødder, hvilket betyder, at det oprindelige polynom må ikke ændre retninger så mange gange, som man måtte forvente. For eksempel har ligningen Y = (X - 1) ^ 3 ingen vendepunkter.