Matematiker diskuterer løsning af en tilsyneladende uløselig ligning

Efter 10 år, Prof. Raimar Wulkenhaar fra University of Münster's Mathematical Institute og hans kollega Dr. Erik Panzer fra University of Oxford har løst en matematisk ligning, som blev anset for at være uløselig. Ligningen skal bruges til at finde svar på spørgsmål stillet af elementærpartikelfysik. I dette interview med Christina Heimken, Wulkenhaar ser tilbage på de udfordringer, man stødte på i at lede efter formlen for en løsning, og han forklarer, hvorfor arbejdet endnu ikke er færdigt.

Du arbejdede på løsningen af ​​ligningen i 10 år. Hvad gjorde denne ligning så svær at løse?

Det er en ikke-lineær integralligning med to variable. Sådan en ligning er så kompleks, at du faktisk tror, ​​at der umuligt kan være nogen formel for en løsning. To variable alene er en udfordring i sig selv, og der er ingen etablerede tilgange til at finde en løsning for ikke-lineære integralligninger. Alligevel, igen og igen i løbet af de 10 år var der glimt af håb og som et resultat, og på trods af alle vanskelighederne, Jeg troede, at det faktisk var muligt at finde en eksplicit formel for en løsning – udtrykt gennem kendte funktioner.

Hvad kan ligningen bruges til?

Det handler om en matematisk forståelse af kvantefeltteorier. Disse hører til inden for fysik og spiller en rolle i store eksperimenter som dem, der udføres på CERN. Målet er matematisk at beskrive elementarpartikler, dvs. de mindste kendte bestanddele af stof. Men det her er så kompliceret, at i stedet, imaginære partikler beskrives matematisk, som har visse egenskaber af de rigtige partikler. Håbet er, at de virkelige partikler en dag kan beskrives ved hjælp af de metoder, der er etableret på denne måde.

Efter at have arbejdet med problemet i 10 år, du oplevede et gennembrud i år. Hvordan opstod det?

Mod slutningen af ​​maj, Jeg prøvede en idé, som min ph.d. studerende, Alexander Hock, givet den afgørende impuls. Jeg udarbejdede en ny ligning – enklere end den forrige – og begyndte at løse den i løkker. Det betyder, at du nærmer dig løsningen trin for trin, dvs. sløjfe for sløjfe, ved at beregne venstre side af ligningen i hvert foregående trin og bruge den til højre side af ligningen i næste trin.

I den fjerde sløjfe skulle jeg beregne en sum af 46 integraler, som blandt andet indeholdt polylogaritmer. Disse polylogaritmer, som er nogle af de mere krævende funktioner, blev mere kompliceret i hver løkke. Det var jeg heldig med, ialt, næsten alt blev annulleret, og tilbage var kun en kort sum af potenser af normale logaritmer. Jeg indså straks, at der var skat at finde her.

Den femte sløjfe var ikke så let at løse – men igen var jeg heldig. Under en sommerskole i de franske alper havde jeg mulighed for at tale med eksperter om sådanne funktioner. En af disse eksperter var Dr. Erik Panzer fra University of Oxford. Han havde skrevet et computerprogram om hyperlogaritmers symbolske matematik, og han ydede støtte. I løbet af natten beregnede dette program min ligning frem til den syvende sløjfe. Det bekræftede mine resultater til den fjerde sløjfe, og efter den fjerde sløjfe fortsatte miraklet - alt kunne opdeles i normale logaritmer. Et mønster begyndte at dukke op!

Hvad betyder det?

Måske husker du Pascals trekant fra din skoletid, med de binominale koefficienter? I trekanten, hvert tal, der indtastes i en linje i trekanten, er summen af ​​de to tal, der er indtastet over den. Og det er netop sådan en trekantet struktur, vi finder i vores løkker – hvis det er mere kompliceret end i Pascals trekant.

Den 9. juni sløjfer otte og ni blev gennemført. Og så kom det, der måske var det vigtigste øjeblik. Erik Panzer dechiffrerede en såkaldt rekursiv formel, som genererer hver sidste linje i trekanten fra linjen over den, og som dermed gør os i stand til at ekstrapolere fra det kendte til det ukendte.

Hvad gik gennem dit sind i dette øjeblik?

En af de ting jeg troede var, "Ingen kan være så heldig." Jeg indså, at vi ville løse ligningen. Ved vores aftensmåltid var der en flaske vin til vores bord …

... før du kom tilbage på arbejde.

Ja. Næste dag lykkedes det mig at reducere en del af ligningen til en simpel række af afledte. I første omgang, resten syntes at være svært. Først sent på aftenen fik jeg ideen om at bruge Cauchy-formlen til at løse det. Jeg stillede mit vækkeur til 5:30 næste morgen og prøvede det med det samme. Det virkede ved første forsøg og i det næste trin ramte jeg en formel, jeg ofte havde set. Jeg vidste, at det ville blive løst ved at bruge Lambert W-funktionen. Et par minutter senere fik jeg en e-mail fra Erik Panzer:han havde også tænkt på Lambert-funktionen, men ad en helt anden vej. Som resultat, vi opnåede noget, som ikke havde været muligt i 10 år:løsningen af ​​integralligningen, som beskriver modellen for en kvantefeltteori. Det var bare utroligt.

Du bruger ideer og metoder udviklet af matematikere i det 18. århundrede, som er næsten helt glemt nu om dage.

Disse gamle formler hjalp os meget. Lambert W-funktionen, som er en elementær del af vores løsning, er opkaldt efter den schweiziske matematiker Johann Heinrich Lambert. Denne ligning dukker op i et stort antal helt forskellige spørgsmål. På grund af manglende bevidsthed om Lamberts grundarbejde, Lambert-funktionen blev opfundet igen og igen, og det blev først etableret som en standard i 1993. Vi brugte også Lagrange-Bürmann-formlen, som hjalp os med at løse et integral ved hjælp af Lambert-funktionen, samt Cauchy-formlen. Generelt, matematik har stor respekt for sine forfædre. Navne som Euler, Lambert, Lagrange, Cauchy, Gauss og Hilbert citeres med den største anerkendelse for deres præstationer. Men der er to moderne værktøjer, jeg ikke ville undvære:Wikipedia og computeralgebra. Du kan finde omfattende information på Wikipedia, der dækker velkendte – og mindre kendte – matematiske strukturer og funktioner. Computere kan løse ligninger usammenlignelig hurtigere end i hånden, og uden at lave fejl

Hvad er de næste skridt?

Der opstår en ny funktion i vores løsning, som vi har givet navnet Nielsen-funktionen. Når vi har forstået det bedre og har fundet ud af f.eks. hvordan det hænger sammen med andre kendte funktioner, vi sender vores arbejde – som er frit tilgængeligt online som fortryk – til offentliggørelse i et fagtidsskrift med peer reviews.

Derefter vil jeg gerne fortsætte noget arbejde, jeg har været engageret i siden 2002 med min kollega prof. Harald Grosse fra Wien. Den omhandler en kvantefeltteori for matematiske partikler. Vi vil nu være i stand til fuldt ud at forstå denne model ved hjælp af den ligning, vi har løst.